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En esta unidad estudiaremos

●● 1. Números enteros

●● 2. Divisibilidad de números naturales

●● 3. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Números naturales y números enteros

Los números naturales son los que utilizamos para contar los elementos de cualquier conjunto. Por ejemplo, con ellos podemos contar las páginas de un libro o las monedas de una hucha.

Pero hay casos en los que los números naturales son insuficientes. Con los números naturales no podemos diferenciar, por ejemplo, la profundidad a la que está sumergido un submarino de la altura a la que vuela un helicóptero o un ingreso de un pago en el extracto de una cuenta corriente.

Un número entero es un número natural que está precedido del signo «+» (positivo) o del «−» (negativo).

Los números enteros +5 y +30 son números enteros positivos, dado que están precedidos del signo «+». Los números enteros −5 y −30 son números enteros negativos, ya que vienen precedidos del signo «−».

RECUERDA

Al conjunto de los números naturales se lo designa con la letra ℕ. De esta forma, puedes expresar:

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}

Al conjunto de los números enteros se lo designa con la letra ℤ. Así, puedes expresar:

ℤ = {...,−3,−2,−1, 0,+1,+2,+3,...}

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que se obtiene al quitarle el signo positivo o negativo.

Los valores absolutos de +5, −5 y 0 se expresan de la siguiente manera:

|+5| = 5, |−5| = 5 y | 0 | = 0

Representación de los números enteros en la recta numérica

Para representar gráficamente a los números enteros se señala en el centro de una recta horizontal el número 0. Hacia la izquierda del 0 se designa como sentido negativo y hacia la derecha del 0, como sentido positivo.

A partir del 0 se sitúan a la derecha, de modo secuencial y separados por la misma distancia, los números enteros positivos. De la misma manera, a la izquierda del 0 se sitúan los números enteros negativos.

RECUERDA

Solo podemos expresar una porción finita de la recta numérica, pero esta se extiende en ambas direcciones. A la derecha se extiende hacia + ∞ (infinito positivo) y a la izquierda hacia − ∞ (infinito negativo).

Comparación de números enteros

En un conjunto de números enteros, el mayor es el que está más a la derecha en la recta numérica.

De esta manera, para comparar los números enteros −5, −2, 0, +3 y +7 primero los situamos en la recta numérica. Luego los ordenamos de mayor a menor. Teniendo en cuenta que cuanto más a la derecha esté un número, mayor será, se concluye:

+7 > + 3 > 0 > −2 > −5

Suma y resta de números enteros

Para realizar sumas y restas de números enteros, primero se debe simplificar la notación. Para ello, se tiene que tener en cuenta que:

+(+a) = +a +(−a) = −a −(+a) = −a −(−a) = +a

donde a es cualquier número entero. Luego, se suman los números positivos, por un lado, y los negativos, por otro. Por último, se restan y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto.

EJEMPLO

Realizamos una operación que incluye sumas y restas de números enteros.

Primero se simplifica la notación y luego se resuelven las operaciones
(+3) + (+7) − (−2) + (−15) − (+3) =
+3 + 7 + 2 − 15 − 3 =
+12 − 18 =
= −6
Se calcula 18 − 12 = 6 y se pone el signo «−» al resultado porque |−18| > |+12|).

Multiplicación y división de números enteros

Para multiplicar o dividir dos números enteros se opera con sus valores absolutos, de igual modo que con los números naturales, y se añade al resultado el signo correspondiente a la regla de los signos.

Regla de los signos. El signo del resultado de una multiplicación o de una división de dos números enteros sigue el siguiente cuadro:

Multiplicación o división	+	–
+	+	–
–	–	+

EJEMPLO

Observa los siguientes ejemplos de multiplicación y división de números enteros.

Presta especial atención a la aplicación de la regla de los signos.

(−6) · (+2) = −12

(+6) · (−2) = −12

(−6) : (−2) = +3

(+6) : (+2) = +3

(−6) : (+2) = −3

(+6) : (−2) = −3

ACTIVIDADES

En un observatorio meteorológico se ha tomado nota de la temperatura de una ciudad durante una semana, siempre a la misma hora. Las temperaturas subrayadas son sobre cero; las otras son temperaturas bajo cero. Escribe las temperaturas usando los signos + y −.

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

3 ºC

1 ºC

2 ºC

1 ºC

2 ºC

3 ºC

4 ºC

Expresa a través de números «con signo» las siguientes temperaturas:

Un grado bajo cero. →
Un grado sobre cero. →
Tres grados bajo cero. →

Escribe los significados de cada uno de los siguientes símbolos:

+8 °C →
−2 °C →
+4 °C →
–45 °C →
–6 °C. →

Completa:

|−6| :
|+4| :
|−19| :
|+1| :
|−8| :

Nombra todos los números enteros comprendidos entre el −3 y el +2.
Ordena:

De mayor a menor: +7, −2, +4 y −3.
De menor a mayor: −2, +2, −11 y +5.

Calcula los resultados de los siguientes ejercicios:

(+5) + (+19) =
(+32) + (+7) =
(−7) + (−9) =
(−8) + (−16) =
(−7) + (−49) =
(−6) + (−94) =

Calcula:

(+6) · (+7) =
(+5) · 8 =
(−7) · (+3) =
(−1) · 8 =
(−22) : (+ 2) =
(+16) : (+8) =
(+10) : (−5) =
(−50) : (−5) =

RECUERDA

Al igual que la suma de los números naturales, la suma de los números enteros posee las propiedades conmutativa y asociativa.

Operaciones combinadas de números enteros

Sin paréntesis ni corchetes

Resolvamos la siguiente combinación de operaciones: −8 · 2 + 12 : (−2) + 5. Para ello tenemos que realizar primero las multiplicaciones y divisiones, y después las sumas y restas.

Observa el siguiente ejemplo:

Con paréntesis

Cuando las combinaciones de operaciones incluyen paréntesis, hay que resolver estos en primer lugar, siguiendo dentro de cada uno de ellos el mismo orden en las operaciones del ejemplo anterior.

De esta manera, tenemos:

EJEMPLO

Al igual que ocurre con los números naturales, la multiplicación de números enteros posee la propiedad asociativa. Esto te permitirá poder multiplicar tres números enteros consecutivos, multiplicando primero dos cualesquiera de ellos y luego el resultado por el que quede sin multiplicar.

Veámoslo con un ejemplo:
5 · (−3) · (−4) = [5 · (−3)] · (−4) = −15 · (−4) = +60
5 · (−3) · (−4) = 5 · [−3 · (−4)] = 5 · (+12) = +60
5 · (−3) · (−4) = −3 · [5 · (−4)] = −3 · (−20) = +60

Esta propiedad te permite resolver multiplicaciones de más de dos números enteros en el orden en el que te sea más cómodo.

Con corchetes

Para realizar una combinación de operaciones que tenga corchetes, debemos solucionar estos en primer lugar. Para ello hay que resolver primero los paréntesis incluidos en ellos, del mismo modo que hemos visto en el ejemplo anterior.

Veamos cómo se hace:

RECUERDA

Resumiendo lo que hemos visto en los ejemplos, para resolver una combinación de operaciones seguimos el siguiente orden de prioridad:
1º Se resuelven los paréntesis que haya dentro de cada corchete, solucionando primero sus multiplicaciones y divisiones y luego sus sumas y restas.
2º Se resuelven los corchetes, calculando primero sus multiplicaciones y divisiones y luego sus sumas y restas.
3º Se realizan las multiplicaciones y divisiones restantes.
4º Se hacen las sumas y restas que queden sin resolver.

Múltiplos y divisores de números naturales

Si se multiplica el número 8 por cualquier otro número natural, se obtiene un múltiplo de 8. De este modo, 0, 8, 16 y 24 son múltiplos de 8, ya que:

0 = 8 · 0, 8 = 8 · 1, 16 = 8 · 2 y 24 = 8 · 3

Si seguimos multiplicando por los sucesivos números naturales se consiguen infinitos múltiplos de 8.

Para obtener un múltiplo de un número natural debemos multiplicarlo por cualquier otro número natural.

Los números 1, 2, 4 y 8 son divisores de 8 porque el cociente de 8 por cada uno de ellos da lugar a una división exacta. Es decir 8 : 1 = 8, 8 : 2 = 4 y 8 : 8 = 1. Se puede observar, entonces, que el número 8 tiene cuatro divisores.

Los divisores de un número natural son los números naturales que lo dividen de forma exacta.

RECUERDA

En la división 40 : 7, el dividendo es 40 y el divisor 7. No obstante, el número 7 no es divisor de 40, porque la división 40 : 7 no es exacta.

¿SABÍAS QUE...?

Todo número natural tiene por divisores a 1 y a sí mismo.

El número 0 es múltiplo de todo número natural.

Actividades

Resuelve:

−3 · (−5) + 6 : (−3) + 7 · (−5) =
7 · (−2) + 4 · (−3) − (−12) : (−2) =
−2 · 6 − 4 · (−1 + (−5)) =
−6 · (−5) − (−5) · (−2) + (−4) : (−2) =
−7 − [−2 + (−11 + 19) − 7] =
(5 − 9) − [−3 − 3 · (9 − 21 − 5)] =

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios de dos maneras, aplicando la propiedad distributiva y sin aplicarla:

(−3 + 8) · (−2) =
[5 + (−4)] · (−6) =
(−9) · [−6 − (−2)] =
7 · [6 − (−5)] =

Resuelve:

[−28 + 12] : (−8) =
[−12 − (−50) + (−4) + 4] : (−19) =
−3 · [−2 + 5 · (4 + 3 · (−2)] + 10 : (−7 + 2) =
20 + 30 : [+3 − 2 · (−9 +3)] − 4 · (+5) · (−2) =

AYUDA

Es muy útil que tengas presentes algunos criterios de divisibilidad. Aquí te recordamos algunos:

Un número natural es divisible entre 2 si termina en 0 o en cifra par. Los números 1200 y 168 son divisibles entre 2, ya que 1200 termina en 0 y 168 en 8, que es una cifra par.
Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Por ejemplo, 312 es múltiplo de 3 porque la suma de sus cifras es 3 + 1 + 2 = 6, que es múltiplo de 3.
Un número es divisible entre 5 si termina en 0 o en 5. De esta manera, 150 y 345 son divisibles entre 5, dado que 150 termina en 0 y 345 termina en 5.

Escribe:

Los cinco primeros múltiplos de 5 que sean distintos de cero.
Tres divisores del número 10.

Escribe los primeros cinco múltiplos y todos los divisores de los siguientes números:

Forma la lista ordenada de los números 1 al 20. De esta lista, elige y escribe:

Un divisor de 6.
Un múltiplo de 7.
Un número que sea divisible por 9.
Un número que no sea divisor de 16.

Números primos y números compuestos

Un número natural es primo si solo tiene como divisores a 1 y a él mismo.

Los únicos divisores de 3 son 1 y 3. Los únicos divisores de 5 son 1 y 5. Tanto el 3 como el 5 son números primos.

Un número natural es compuesto si tiene, al menos, un divisor distinto de 1 y de él mismo.

Los divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8. Los divisores de 10 son 1, 2, 5 y 10. Tanto 8 como 10 son números compuestos.

EJEMPLO

Existen infinitos números primos. Te mostramos a continuación los menores a 100:

1
2
3
5

7
11
13
17

19
23
29
31

37
41
43
47

53
59
61
67

71
73
79
83

89
97

Descomposición en factores primos de un número natural

La descomposición de un número natural en factores primos es la expresión del mismo como producto de números primos.

Vamos a calcular la descomposición en factores primos de 990. Para ello seguimos los siguientes pasos:

1. Trazamos una barra vertical a la derecha de 990. Buscamos el menor número primo que sea divisor de 990.

2. El 2 es el número primo menor divisor de 990. Lo ponemos a la derecha de 990, al otro lado de la barra, y realizamos la división 990 : 2 = 495.

3. Ponemos 495 debajo de 995 y buscamos el menor número primo que sea divisor de 495. El 3 es el número primo menor divisor de 495. Lo ponemos a la derecha de 495 y realizamos la división 495 : 3 = 165.

4. Continuamos el proceso hasta lograr como último cociente el número 1. De esta manera, hemos obtenido la descomposición en factores primos de 990.

990 = 2 · 3 · 3 · 5 · 11 = 2 · 3² · 5 · 11

RECUERDA

La descomposición en factores primos de un número natural es única.

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

Se denomina mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números al menor de los múltiplos comunes de los mismos.

Para calcular el m.c.m. de varios números se toman los factores comunes y no comunes de sus descomposiciones en factores primos al mayor exponente.

Se denomina máximo común divisor (m.c.d.) de varios números al mayor de los divisores comunes de los mismos.

Para calcular el m.c.d. de varios números se toman los factores comunes de sus descomposiciones en factores primos al menor exponente.

Por ejemplo, calculemos el m.c.m. y el m.c.d. de 24, 60 y 30.

Primero los descomponemos en sus factores primos.

Seguidamente, aplicamos las reglas para determinar el m.c.m. y el m.c.d. de 24, 60 y 30 y obtenemos:

m.c.d. (24; 60 y 30) = 2 · 3 = 6, ya que los factores comunes a menor exponente son 2 y 3.
m.c.m. (24; 60 y 30) = 2³ · 3 · 5 = 120, ya que los factores comunes y no comunes al mayor exponente son 2³, 3, 5.

RECUERDA

En esta unidad didáctica sólo usamos las potencias para realizar la descomposición en factores primos de números naturales. Más adelante las estudiaremos para los números enteros y veremos detenidamente sus propiedades.

Recuerda que podemos expresar:

3 · 3 = 3² (3 elevado al cuadrado)
2 · 2 · 2 = 2³ (2 al cubo)
5 · 5 · 5 · 5 = 5⁴ (5 a la cuarta, o cinco elevado a 4)

Las expresiones 3², 2³ y 5⁴ representan productos del número situado abajo (base) tantas veces como indique el número superior (exponente).

Así se obtiene:
3² = 9 2³ = 8 5⁴ = 625

Ten también en cuenta que cualquier número es igual a él mismo elevado a 1. Por ejemplo:
3¹ = 3 5¹ = 5

ACTIVIDADES

Escribe:

La lista de los cinco primeros múltiplos de 15 que sean distintos de cero.
La lista de los cinco primeros múltiplos de 25 que sean distintos de cero.
De las dos listas anteriores, ¿puedes hallar el m.c.m. (15; 25)?

Escribe:

La lista de los divisores de 80.
La lista de divisores de 120.
De las dos listas anteriores, ¿puedes hallar el m.c.d. (80; 120)?

De la misma forma que en las actividades 15 y 16, calcula el m.cm. y el m.c.d. de 30 y 45.

Descompón en factores primos:

a) 24 b) 120 c) 330 d) 373 e) 1000

Calcula:

m.c.m. (20; 200)
m.c.m. (48; 72).
m.c.d. (12; 20).
m.c.d. (24; 36)
m.c.d. (25; 150)
m.c.d. (32; 49)

Una de estas tres igualdades es falsa. ¿Cuál es? ¿Por qué?

m.c.m. (8; 25) = 200
m.c.m. (12; 13) = 1
m.c.m. (5; 12; 40) = 2³ · 3 · 5

Tres ciclistas compiten en una pista circular y tardan en dar una vuelta 10, 12 y 15 segundos, respectivamente. Si parten juntos, ¿en cuántos minutos se encontraran en el punto de salida?

Elvira quiere dividir una cartulina de 40 cm de largo y 30 cm de ancho en cuadrados iguales, tan grandes como sea posible. ¿Cuánto medirá el lado de cada cuadrado?

Joaquín rompió el domingo su hucha y encontró dentro 50 €. El lunes se compró dos bolígrafos, que le costaron 2 € cada uno de ellos. El martes se compró un helado por 3 €. El miércoles se encontró un billete de 5 €. El jueves, tanto su abuelo Lorenzo como su abuela Carmen le dieron 3 €. El viernes junto a su hermana Susana le compraron, a partes iguales, un ramo de flores a su madre por valor de 8 €. Calcula mediante operaciones combinadas cuánto dinero tenía Joaquín al final.

● Solución

Se trata de ir restando o sumando sucesivamente a los 50 € iniciales las cantidades que va gastando o adquiriendo. Para ello debemos expresar con su signo adecuado cada una de las cantidades:

1º Compra dos bolígrafos por 2 € cada uno → −2 · 2

2º Compra un helado por 3 →€ –3

3º Se encuentra un billete de 5€ → +5

4º Cada uno de sus dos abuelos le da 3 € → +2 · 3

5º Compra, a medias, un ramo de flores que costó 8 € → –8 : 2

Por tanto la operación que habrá que resolver será:

50 − 2 · 2 − 3 + 5 + 2 · 3 – 8 : 2 = 50 − 4 − 3 + 5 + 6 – 4 = 61 − 11 = 50

Joaquín al final tenía 50 €

En una almazara hay tres tipos de bidones para guardar el aceite, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l y 540 l. Se quieren envasar sus contenidos en el menor número de garrafas iguales y sin que sobre aceite. Calcula las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueda envasar el aceite contenido en cada uno de los bidones, y el número de garrafas que se necesitan.

● Solución

Las garrafas deben ser tales que su capacidad sea un divisor común de las capacidades de cada uno de los tres bidones, para que no sobre aceite de ninguno. Por tanto, la capacidad de las garrafas debe ser divisor común de 250, 360 y 540. Como su número debe ser mínimo, debemos calcular el m.c.d. (250; 360 y 540).

Primero calculamos la descomposición en factores primos de los tres números.

Para terminar, tomamos los factores comunes al menor exponente. Tenemos:

m.c.d. (250; 360 y 540) = 2 · 5 = 10

Las garrafas deben tener 10 l de capacidad. Su número será:

(250 + 360 + 540 ): 10 = 1150 : 10 = 115 garrafas.

En una bahía hay tres faros. Uno se enciende cada 12 segundos, otro cada 36 segundos y un tercero cada minuto. A las 10 de la noche los tres coinciden. Averigua cuándo volverán a encenderse simultáneamente.

● Solución

El faro que se enciende cada 12 segundos lo hará cada vez que transcurra una cantidad de segundos que sea múltiplo de 12, a partir de las 10:00 de la noche.

El segundo se encenderá transcurrida una cantidad de segundos que sea múltiplo de 36, y el tercero lo hará en una cantidad de segundos múltiplo de 60, a partir de la misma hora.

Por tanto, los tres faros se encenderán simultáneamente cada vez que pase una cantidad de segundos que sea múltiplo común de 12, 36 y 60 desde las 10:00 de la noche. La primera vez lo harán cuando pasen el menor de esos múltiplos. Es decir tenemos que calcular el m.c.m. (12; 36 y 60).

Para ello, resolvemos primero la descomposición en factores primos de cada número:

Para terminar tomamos los factores comunes y no comunes al mayor exponente. De esta forma tenemos: m.c.m. (12; 36 y 60) = 2² · 3² · 5 = 180.

Los tres faros volverán a coincidir cuando transcurran 180 segundos, es decir 3 minutos: a las 10:03 de la noche.

Cuando te enfrentes a operaciones combinadas complicadas puedes resolverlas por partes, atendiendo a la prioridad de operaciones. Veámoslo con el siguiente ejemplo.

● Solución

[−3 + 4 · (−2 · (−5) − 9 : (−3) − 1) + 4 : (7 − 5)] + 2 · 7 − 5 · (−2)

Lo primero que debemos solucionar son las operaciones de los paréntesis dentro del corchete. Podemos resolverlas aparte:

(−2 · (−5) − 9 : (−3) − 1) = 10 + 3 − 1 = 12
(7 − 5) = 2

Recuerda resolver primero las multiplicaciones y las divisiones, y luego las sumas y las restas.

Luego sustituimos los paréntesis por los valores hallados en su resolución dentro del corchete:

[−3 + 4 · 12 + 4 : 2] + 2 · 7 − 5 · (−2)

Ahora debemos resolver el corchete. También podemos resolverlo aparte:

−3 + 4 · 12 + 4 : 2 = −3 + 48 + 2 = 47

Para terminar, sustituimos el corchete por el resultado encontrado y resolvemos las operaciones restantes siguiendo la prioridad de operaciones.

47 + 2 · 7 − 5 · (−2) =
= 47 +14 + 10 = 71

Estos son los saldos diarios de una tienda, expresados en euros:

	Lunes	Martes	Miércoles	Jueves	Viernes	Sábado
Haber	72	67	42	115	87	65
Debe	54	32	54	70	45	23

Indica mediante números enteros el haber y el debe de cada día.

¿Cuál es la altitud respecto al nivel del mar de cada uno de los siguientes puntos del dibujo A, B, C, D y E?

En un día de invierno, la temperatura mínima en Ávila fue de −3 ºC y la máxima de +2 ºC. ¿Cuál fue la diferencia entre la temperatura máxima y la mínima?

Resuelve:

¿Qué número entero representa cada letra?

Halla el valor absoluto de los números representados en la gráfica.

¿Cuáles son los números enteros comprendidos entre −8 y +2?

Completa con los símbolos < o >, según corresponda, entre los siguientes pares de números enteros.

−9 −1
+15 −20
−12 +2
+6 +1

0 −3
+11 0
−5 +5
−10 −1

Sitúa los siguientes números enteros en la recta numérica: −2, −7, +6 y +8. Realiza las siguientes actividades:

Marca en la recta numérica dos números enteros menores que −7.
Marca en la recta numérica dos números enteros mayores que −7 y menores que −2.
Marca en la recta numérica todos números enteros menores que +8 y mayores que +6.
Ordena todos los números que hayas marcado en la recta numérica de mayor a menor usando el símbolo >.

Responde a las siguientes cuestiones:

¿Cuáles son los cinco números enteros cuyos valores absolutos son menores que 3?

¿Qué números enteros tienen valor absoluto mayor que 4 y menor que 7?

Resuelve:

(+2) + (−9) =
(−5) + (−12) =
(+2) + (+12) =
(−2) + (−13) =
(−22) + (+2) =
(+7) + (−107) =

Soluciona estas operaciones:

8 − 9 =
23 − 17 =
43 − 15 =
−22 + 33 =
−43 + 32 =

−30 + 12 =
−7 − 13 =
−17 − 21 =
−25 − 70 =

Resuelve:

23 + (+12) =
20 + (−17) =
21 − (+13) =
−82 − (−33) =
−38 − (+3) =

−31 + (+7) =
−5 − (−12) =
−7 + (−21) =
100 − (−70) =

Resuelve los siguientes ejercicios simplificando primero la escritura:

−(−46) + (−49) − (−48)
(+18) − (+3) + (−15)
(−42) + (+63) − (−58) + (−82)
(+23) + (−34) + (−16)
−(−34) + (−20) − (+41)
(+ 26) + (−10) − (−25)

Resuelve las siguientes operaciones combinadas:

−(−12 + 15 − 18) =
(16 − 32 − 12) + (−31 + 11) =
−(−3 − 16 + 28) + (−15 + 36 − 23) =
(28 − 43 − 51) − (11 − 25 − 19) =

Resuelve las siguientes operaciones combinadas:

−5 + (+1) · (−1) =
−1 − (−3) : (−3) =
−6 − (−7) · (−6 − 2) =
−2 − (−15) : (8 + 7) =
−4 − (+24) : (+1 − 9) − (−1 − 2) =
7 + (−5) : (−7 + 2) − (+1 − 6) =
−6 − [+7 + (+1) · (−1)] =
7 + [+1 − (+10) : (+5)] =

Resuelve las siguientes combinaciones de operaciones:

6 − [−9 + (−5 − 3) − (−6 + 11)] =
−35 − [−(42 −17) − 23 + (−1 + 48)] − 7 =
− (−16 − 9 − 7) − [12 − (5 + 9 − 17)] =
− 4 − 6 − (42 − 8) − 5 + [7 − (16 + 9)] =
5 − 7 + 8 : [−9 · (−3) − 7 · (2 + 3)] −2 · [5 − 1 − 4 · (6 − 3)] =
3 : [6 − (2 · 3 − 1)] + 4 · (7 + 4 · 2 − 3) =
−15 + 20 : [−3 · (−4 − 3) − 11] − 3 · (2 − 1 + 4) =
12 · [3 + (5 − 2 · (−3)) − 12] − 4 · (4 − 7) =

Una familia dispone mensualmente de 1 382 €. Al principio de cada mes paga 450 € por el alquiler del piso; reserva 108 € para el pago del agua y de la energía eléctrica; el presupuesto mensual de alimentación es de 480 €; otros gastos (transportes, ropa, etc.) ascienden a 144 €. Calcula, planteando una combinación de operaciones, lo que dicha familia ahorra mensualmente.

Aurora salió una mañana a practicar ciclismo. Parte de su pueblo, Villa Encina, que está situado a 350 m sobre el nivel del mar. Su primer tramo fue una ascensión al puerto de Las Cumbres, que está a 200 m sobre el pueblo en vertical. Seguidamente realiza un descenso hasta el valle del río Tuertano, que está a 250 m por debajo del puerto. Por último sube el cerro Negro, que está a 53 m sobre el valle. Calcula con operaciones combinadas la altura sobre el nivel del mar a la que se encuentra al final de la mañana.

El filósofo y matemático griego Pitágoras nació el año 571 a. de C. El matemático y físico inglés Sir Isaac Newton nació en el 1 643 d. de C. ¿Cuántos años transcurrieron desde el nacimiento de Pitágoras hasta el nacimiento de Isaac Newton?

Escribe los cinco primeros múltiplos de: 5, 7, 12, 30 y 45.

Calcula todos los divisores de: 12, 20, 32 y 45.

Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes números naturales:

35 y 36
4 y 20
15 y 18
36 y 42

144 y 150
100 y 120
240 y 300
150 y 320

Calcula el m.c.m. y el m.c.d. de las siguientes ternas de números naturales:

14, 32 y 40
12, 26 y 44
40, 80 y 120

180, 252 y 594
924, 1 000 y 1 250
320, 540 y 1 280

¿Cómo podemos envasar 40 litros de zumo de piña y 24 litros de naranja en recipientes iguales de la mayor capacidad posible? ¿Cuántos envases necesitaremos?

En dos calles de 144 m y 168 m se quieren plantar árboles que estén igualmente espaciados. ¿Cuál es la mayor distancia a la que se puede plantar cada árbol?

Un autobús de la línea A sale cada 32 minutos y otro de la línea B cada 40. Si los dos conductores comienzan sus jornadas a las 10:00 h, ¿a qué hora volverán a encontrarse? ¿Cuántas salidas habrán hecho cada uno hasta ese momento?

En un pueblo la campana del ayuntamiento toca cada media hora y la de la iglesia cada ¾ de hora. ¿Cada cuánto tiempo coincidirán las dos campanas?

LOS NÚMEROS ENTEROS EN EL SISTEMA SOLAR

Algunas de las utilidades de los números enteros son la medición de la altitud y de la temperatura. Se adopta que la altitud del nivel del mar es 0 m, se asignan valores positivos a las altitudes que se sitúen por encima de él y negativas a las que estén por debajo. De igual manera, a la temperatura de congelación del agua se le da el valor de 0 ^oC; a las temperaturas superiores se les asocian valores positivos y a las inferiores negativos.

En nuestro planeta, la montaña más alta es el monte Everest, que se eleva 8848 m sobre el nivel del mar. Le sigue el K2, de 8 611 m sobre el nivel del mar. Ambas montañas se sitúan en la cordillera del Himalaya.

Por otro lado, las mayores profundidades en nuestro planeta se dan en el océano Pacífico, concretamente en la fosa de las Marianas y en la fosa de Tonga, con 11 034 m y 10 882 m, respectivamente, bajo el nivel del mar.

Por tanto se puede expresar:

	Everest	K2	Fosa de las Marianas	Fosa de Tonga
Altitud	+ 8 848 m	+ 8 611 m	−11 034 m	−10 882 m

En nuestro planeta vecino, Marte, se encuentra la montaña más alta conocida del Sistema Solar: el monte Olimpo. Se trata de un volcán de 21 287 m sobre el nivel medio de la superficie marciana (ya que allí no hay mares para tomar su altitud como referencia).

Es una altura que hace palidecer a la del Everest. El monte Olimpo es tan alto que supera en altura a casi toda la atmósfera marciana, y en su cumbre ésta es tan tenue que las condiciones son casi las del vacío.

Por otro lado la máxima temperatura registrada en nuestro planeta fue de 57 ^oC en el Valle de la Muerte, en los Estados Unidos, en julio de 1913. La mínima temperatura registrada fue de −93 ºC grados, en la Antártida, en agosto de 2010.

Igualmente, podemos encontrar mediciones que ridiculizan las temperaturas registradas en la Tierra. Por ejemplo, se sabe que en el planeta Mercurio la temperatura de su superficie antes del amanecer puede alcanzar los −187 ^oC, mientras que en su mediodía puede llegar a los 407 ^oC.

Podemos expresar las anteriores temperaturas de la siguiente manera.

	Mínima Tierra	Máxima Tierra	Mínima Mercurio	Máxima Mercurio
Temperatura	−93 ºC	+57 ºC	−187 ºC	+407 ºC

ACTIVIDADES

Explica cuál es el criterio que se toma para determinar cuándo una altitud es positiva y cuándo es negativa.

¿Por qué es importante la temperatura de congelación del agua en relación a la escala de medición de la temperatura Celsius (ºC)?

Busca en Internet cuál es la mayor profundidad del mar Mediterráneo y cuál es la montaña más alta de la península Ibérica. Asocia a estas dos mediada el signo positivo o negativo.

¿Cuál es la diferencia de temperatura en Mercurio, según el texto?

En julio de 2015 la sonda espacial de la NASA New Horizons fotografío Plutón desde una altitud de 18 000 km. Busca en Internet información sobre la temperatura de Plutón y las alturas de sus montañas.

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Números naturales y números enteros

Números naturales y números enteros

Valor absoluto de un número entero

Representación de los números enteros en la recta numérica

Comparación de números enteros

Suma y resta de números enteros

Multiplicación y división de números enteros

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Operaciones combinadas de números enteros

Operaciones combinadas de números enteros

Sin paréntesis ni corchetes

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Con corchetes

Múltiplos y divisores de números naturales

Actividades

Números primos y números compuestos

Números primos y números compuestos

Descomposición en factores primos de un número natural

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

ACTIVIDADES

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Lectura científica

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