Suma y resta Recuerda algunas reglas básicas para resolver expresiones con números enteros:
Para sumar (restar) dos números:
Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el signo que tenían los sumandos.
Si tienen distinto signo, se restan los valores absolutos y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.
Al suprimir un paréntesis precedido del signo más, los signos interiores no varían.
+(-3 + 8 - 2) = -3 + 8 - 2
Al suprimir un paréntesis precedido del signo menos, se cambian los signos interiores: más por menos y menos por más.
-(-3 + 8 - 2) = +3 - 8 + 2
Para sumar más de dos números positivos y negativos:
Se suman los positivos por un lado y los negativos por otro.
Se restan los resultados y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.
WWW 7. Actividades guiadas: expresiones con sumas y restas.
a) 8 - 6 + 3 - 7 = 8 + 3 - 6 - 7 = 11 - 13 = -2
b) +(+4) + (-7) - (+3) - (-5) = 4 - 7 - 3 + 5 = 4 + 5 - 7 - 3 = 9 - 10 = -1
c) 9 - (2 - 7 + 3) + (-2 + 6) = 9 - 2 + 7 - 3 - 2 + 6 = 9 + 7 + 6 - 2 - 3 - 2 = 22 - 7 = 15
O bien, de otra forma:
9 - (2 - 7 + 3) + (-2 + 6) = 9 - (5 - 7) + (-2 + 6) = 9 - (-2) + (+4) = 9 + 2 + 4 = 15
Actividades
Calcula mentalmente.
Resuelve.
Calcula.
a) –3 + 10 – 1
c) –5 + 6 + 4
e) –18 + 3 + 6
g) –7 – 3 – 4
b) –8 + 2 – 3
d) –12 + 2 + 6
f ) –20 + 12 + 5
h) –2 – 13 – 5
C ompleta como en el ejemplo.
a) 3 - 9 + 4 - 8 - 2 + 13 =
b) -15 - 4 + 12 - 3 - 11 - 2 =
Calcula.
a) 3 - 7 + 2 - 5 =
b) 2 - 6 + 9 - 3 + 4 =
c) 7 - 10 - 5 + 4 + 6 - 1 =
d) -6 + 4 - 3 - 2 - 8 + 5 =
e) 12 + 5 - 17 - 11 + 20 - 13 =
f) 16 - 22 + 24 - 31 + 12 - 15 =
Quita paréntesis y calcula.
a) (-3) - (+4) - (-8) =
b) -(-5) + (-6) - (-3) =
c) (+8) - (+6) + (-7) - (-4) =
d) -(-3) - (+2) + (-9) + (+7) =
Resuelve de dos formas, como en el ejemplo.
a) 10 - (13 - 7) = 10 - (+6) = 10 - 6 = 4 b) 10 - (13 - 7) = 10 - 13 + 7 = 17 - 13 = 4
a) 15 – (12 – 8)
b) 9 – (20 – 6)
c) 8 – (15 – 12)
d) 6 – (13 – 2)
e) 15 – (6 – 9 + 5)
f ) 21 – (3 – 10 + 11 + 6)
Resuelve de una de las formas que ofrece el ejemplo:
a) (8 - 13) - (5 - 4 - 7) = (8 - 13) - (5 - 11) = (-5) - ( - 6) = -5 + 6 = 1b) (8 - 13) - (5 - 4 - 7) = 8 - 13 - 5 + 4 + 7 = 19 - 18 = 1
a) (4 – 9) – (5 – 8)
b) –(1 – 6) + (4 – 7)
c) 4 – (8 + 2) – (3 – 13)
d) 12 + (8 – 15) – (5 + 8)
e) (8 – 6) – (3 – 7 – 2) + (1 – 8 + 2)
Ejercicio resuelto
Calcular: 6 - [5 + (8 - 2)]
a) Primera forma: deshaciendo paréntesis.
6 - [5 + (8 - 2)] = 6 - [5 + 8 - 2] = 6 - 5 - 8 + 2 = 8 - 13 = -5
b) Segunda forma: operando dentro de los paréntesis.
6 - [5 + (8 - 2)] = 6 - [5 + (+6)] = 6 - [5 + 6] = 6 - [+11] = 6 - 11 = -5
Calcula.
a) 7 - [1 + (9 - 13)]
b) -9 + [8 - (13 - 4)]
c) 12 - [6 - (15 - 8)]
d) -17 + [9 - (3 - 10)]
e) 2 + [6 - (4 - 2 + 9)]
f) 15 - [9 - (5 - 11 + 7)]
Resuelve.
a) (2 – 9) – [5 + (8 – 12) – 7]
b) 13 – [15 – (6 – 8) + (5 – 9)]
c) 8 – [(6 – 11) + (2 – 5) – (7 – 10)]
d) (13 – 21) – [12 + (6 – 9 + 2) – 15]
e) [4 + (6 – 9 – 13)] – [5 – (8 + 2 – 18)]
f ) [10 – (21 – 14)] – [5 + (17 – 11 + 6)]
Multiplicación
Podemos calcular el producto de dos números enteros teniendo en cuenta que una multiplicación es una suma de sumandos iguales:
WWW 8. Actividades para recordar la multiplicación y la división de números enteros.
(+3) · (-6) = → Sumamos tres veces "menos seis". → +(-6) + (-6) + (-6) = -6 - 6 - 6 = -18
(-3) · (-6) = → Restamos tres veces "menos seis". → -(-6) - (-6) - (-6) = +6 + 6 + 6 = +18
Sin embargo, para multiplicar con rapidez, aplicamos la siguiente regla:
El producto de dos números enteros es:
Positivo, si los factores tienen signos iguales.
Negativo, si los factores tienen signos diferentes.
(+4) · (+3) = +12 (-5) · (-4) = +20 (+6) · (-4) = -24 (-4) · (+8) = -32
División La división de números enteros guarda con la multiplicación las mismas relaciones que en los números naturales:
(+4) · (+6) = +24 → (+24) : (+4) = +6
(-4) · (-6) = +24 → (+24) : (-4) = -6
(+4) · (-6) = -24 → (-24) : (+4) = -6 ; (-24) : (-6) = +4
En la división se aplica la misma regla de los signos que en la multiplicación.
Operaciones combinadas
Observa el orden en que realizamos las operaciones para calcular el valor de la siguiente expresión:
WWW 9.Actividades guiadas: expresiones con operaciones combinadas.
Actividades
Multiplica.
Observa los ejemplos y calcula.
Divide.
Calcula el valor de x en cada caso:
C ompleta y compara. ¿Qué observas?
(+60) : [(-30) : (-2)] = (+60) : [+15] =
[(+60) : (-30)] : (-2) = [
Calcula.
a) (–28) : [(+12) : (–3)]
b) [(–45) : (+3)] : (+5)
c) (–100) : [(–36) : (–9)]
d) [(–72) : (+9)] : (–8)
Calcula siguiendo el ejemplo.
a) [(+5) · (-8)] : [(-2) · (-5)]
b) [(+28) : (-7)] · [(+20) : (-4)]
c) [(-10) : (+5)] : [(-28) : (+4)]
Calcula como en el ejemplo.
15 - 8 · 3 = 15 - 24 = -9
a) 18 – 5 · 3 =
b) 6 – 4 · 2 =
c) 7 · 2 – 16 =
Calcula.
a) 18 – 15 : 3 =
b) 3 – 30 : 6 =
c) 20 : 2 – 11 =
Calcula como en el ejemplo.
21 - 4 · 6 + 12 : 3 = 21 - 24 + 4 = 25 - 24 = 1
a) 20 – 4 · 7 + 11 =
b) 12 – 6 · 5 + 4 · 2 =
c) 15 – 20 : 5 – 3 =
d) 6 – 10 : 2 – 14 : 7 =
e) 5 · 3 – 4 · 4 + 2 · 6 =
f ) 7 · 3 – 5 · 4 + 18 : 6 =
Observa el ejemplo y calcula.
(–3) · (– 4) + (– 6) · 3 = (+12) + (–18) = 12 – 18 = – 6
a) 5 · (–8) – (+9) · 4 =
b) 32 : (–8) – (–20) : 5 =
c) (–2) · (–9) + (–5) · (+4) =
d) (+25) : (–5) + (–16) : (+4) =
e) (+6) · (–7) + (–50) : (–2) =
f ) (+56) : (–8) – (–12) · (+3) =
Calcula.
a) 18 – 5 · (3 – 8) =
b) 11 – 40 : (–8) =
c) 4 · (8 – 11) – 6 · (7 – 9) =
d) (4 – 5) · (–3) – (8 – 2) : (–3) =
Ejercicio resuelto
(-2) · [11 + 3 · (5 - 7)] - 3 · (8 - 11) =
= (-2) · [11 + 3 · (-2)] - 3 · (-3) =
= (-2) · [11 - 6] + 9 = (-2) · [+5] + 9 = -10 + 9 = -1
Calcula.
a) 15 + 2 · [8 – 3 · 5]
b) (–3) · (+5) – 3 · [11 + 3 · (5 – 11)]
c) 28 : (–7) – (–6) · [23 – 5 · (9 – 4)]
d) (–2) · (7 – 11) – [12 – (6 – 8)] : (–7)
e) [18 + 5 · (6 – 9)] – [3 – 16 : (5 + 3)]
Potencias de números enteros Recuerda que una potencia es una multiplicación de factores iguales:
(+4)2 = (+4) · (+4) = +164 = (-3) · (-3) · (-3) · (-3) = +815 = (-3) · (-3) · (-3) · (-3) · (-3) = -243
En las sucesivas potencias de un número negativo obtenemos, alternativamente, resultados positivos y negativos:
(-3)1 = -3 (-3)2 = +9 (-3)3 = -27 (-3)4 = +81
Al elevar un número negativo a una potencia:
Si el exponente es par, el resultado es positivo.
(- a ) n (par) → positivo
Si el exponente es impar, el resultado es negativo.
(- a ) n (impar) → negativo
Actividades
Escribe en forma de potencia.
a) (-2) · (-2) =
b) (+5) · (+5) · (+5) =
c) (-4) · (-4) · (-4) · (-4) =
d) (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) =
C ompleta.
Escribe en forma de producto y calcula:
Obtén con ayuda de la calculadora como se hace en el ejemplo.
Calcula el valor de x en cada caso:
Averigua el valor o los valores de x que cumplen la igualdad en cada caso:
Propiedades de las potencias Las propiedades que vienen a continuación son básicas para el cálculo con potencias. Memorízalas y analiza detenidamente cada ejemplo.
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.
La potencia de un cociente es igual al cociente entre las potencias del dividendo y del divisor.
Para multiplicar dos potencias de igual base, se suman los exponentes.
Para dividir dos potencias de igual base, se restan los exponentes.
Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes.
Actividades
Calcula.
a) (-2)6 + (-2)5
b) 104 + (-10)3 - 102 + (-10)
c) (-5)2 - (-2)4 + (-1)6
d) (+4)3 : (-2)4 + (+9)2 : (-3)3
e) (+4)2 + (-2)3 : [(-2)3 + (-3)2 ]
Reduce a una sola potencia como en el ejemplo.
2 5 · (-3) 5 = [2 · (-3)] 5 = ( - 6) 5
a) 32 · 42 =
b) (-2)3 · 43 =
c) (-5)2 · (+3)2 =
d) 36 · (-2)6 =
Expresa con una sola potencia igual que en el ejemplo.
(-15) 4 : (+3) 4 = [(-15) : (+3)] 4 = (-5) 4 = 5 4
a) 94 : 34 =
b) (+15)3 : (-5)3 =
c) (-20)2 : (-4)2 =
d) (-18)4 : (-6)4 =
Reduce aplicando la propiedad a m a n a m + n
a) x 2 · x 3 =
b) m 3 · m 5 =
c) a 4 · a 4 =
d) z 5 · z =
C ompleta.
a) (-6)3 · (-6)4 = (-6)
b) (+3)6 · (+3)2 = 3
c) (-2)8 · (-2)2 = 2
d) (-5)3 · (+5)2 = (-5)
Reduce a una sola potencia.
a) 25 · 27 =
b) (-2)3 · (+2)6 =
c) (-12)2 · (+12)2 =
d) (+9)4 · (-9)2 =
Reduce aplicando la propiedad a m a n a m - n
a) x 7 : x 4 =
b) m 5 : m 4 =
c) a 7 : a 2 =
d) z 8 : z 3 =
Co mpleta.
a) 59 : 53 = 5
b) (–2)6 : (–2)3 = (–2)
c) (–4)8 : (+4)3 = 4
d) (+6)8 : (–6)5 = (–6)
Reduce a una potencia única.
a) (-7)8 : (-7)5 =
b) 109 : (-10)4 =
c) 124 : (-12) =
d) (-4)10 : (+4)6 =
Aplica la propiedad (a m n a m · n
a) (x 3 )2 =
b) (m 4 )3 =
c) (a 3 )3 =
d) (z 6 )3 =
Completa.
a) (32 )4 = 3
b) [(-2)4 ]3 = (-2)
c) [(+5)2 ]2 = (+5)
d) [(-6)3 ]5 = (-6)
Reduce a una sola potencia.
a) [(-2)2 ]2 =
b) [(+5)3 ]2 =
c) [(+7)3 ]3 =
d) [(-4)2 ]4 =
Reduce como en el ejemplo.
( a 6 · a 4 ) : a 7 = a 10 : a 7 = a 3
a)(x 5 · x 2 ) : x 4 =
b) m 7 : (m 2 · m 3 ) =
c) (a · a 6 ) : (a 2 · a 4 ) =
d) (z 5 · z 3 ) : (z 6 · z 2 ) =
Calcula como en el ejemplo.
[( - 4) 7 · 4 3 ] : [( - 4) 2 ] 4 = ( - 4) 10 : ( - 4) 8 = ( - 4) 2 = 16
a) (58 · 54 ) : (52 )5 =
b) [(-2)6 · (+2)3 ] : [(+2)3 ]2 =
c) [(-3)3 ]3 : [(-3)2 · (-3)3 ] =
d) [(-7)8 · 75 ] : (74 )3 =
Calcula como en el ejemplo.
12 5 : 6 5 = (12 : 6) 5 = 2 5 = 32
a) 154 : 54 =
b) (-12)3 : 63 =
c) (-20)5 : (-2)5 =
d) 86 : (-2)6 =
e) (63 · 43 ) : (-8)3 =
f) [84 · (-5)4 ] : (-20)4 =
Opera y calcula.
a) 106 : (54 · 24 )
b) (-12)7 : [(-3)5 · 45 ]
c) [(-9)5 · (-2)5 ] : 184
d) [57 · (-4)7 ] : 204
e) 84 : (25 · 42 )
f) 253 : [(-15)5 : 35 ]
Raíz cuadrada de un número entero
La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado.
√a = b ⟷ b 2 = a
Los números cuya raíz cuadrada es un número entero se llaman cuadrados perfectos.
√49 = 7 ⟷ 72 = 49
√400 = 20⟷ 202 = 400
↓
49 y 400 son cuadrados perfectos.
Teniendo en cuenta el concepto de raíz cuadrada, vemos que:
Un número positivo tiene dos raíces cuadradas.
√(+16)
↓
+4 ⟷ (+4)2 = +162 = +16
Un número negativo no tiene raíz cuadrada.
√(-16) = x ⟷ x 2 = -16 ⟷ Imposible.
√(-16) → No existe, porque no hay ningún número cuyo cuadrado dé un resultado negativo.
Otras raíces
Además de la raíz cuadrada, podemos obtener raíces de índice superior a dos. En general:
a) 3 √(+8) = +2 ⟷ (+2)3 = +8
b) 3 √(-8) = -2 ⟷ (-2)3 = -8
c) 4 √(+81) = +3 ⟷ (+3)4 = 814 = 81
d) 4 √(-81) ⟷ No existe.
Actividades
