Múltiplos y divisores

¿Cómo llegan los libros a las librerías?

Los libros recorren un largo camino hasta llegar a las librerías. Pasan por su creación por parte del escritor y su impresión en la imprenta, después se encuadernan, y más tarde van a los almacenes del distribuidor y de allí a las librerías.

Cada librero hace los pedidos de cada tipo de libros que necesita a la distribuidora y, una vez que llegan, los coloca en estanterías, siguiendo un orden que puede variar en cada librería.

En la librería de Alberto, los pedidos de libros llegan en cajas con distinto número de ejemplares en su interior según el tipo de libro. Los diccionarios vienen de 2 en 2, las guías de viaje de 3 en 3, las novelas de 5 en 5 y los tebeos vienen en cajas de 10.

En el último pedido, Alberto recibió 260 tebeos. ¿Cuántas cajas de tebeos recibió?
EXPRESIÓN ORAL. Para el colegio del barrio, Alberto ha pedido 32 diccionarios de lengua, 14 de francés y 14 de inglés. ¿Cuántas cajas de diccionarios ha recibido? ¿Cómo lo has calculado?
Ha pedido también 2 guías de viajes de cada una de las 15 ciudades europeas más visitadas. ¿Cuántas cajas de guías de viajes habrá en el pedido?
Alberto ha pedido 325 novelas este año para venderlas en las fiestas navideñas. En el pedido vendrá el mismo número de ejemplares de cada una de las 13 novelas de más éxito. ¿Cuántos ejemplares ha pedido de cada novela?

¿Qué sabes ya?

División exacta y división entera

Una división es exacta si su resto es 0.

En una división exacta se cumple que:

D = d x c

Una división es entera si su resto
es distinto de 0.

En una división entera se cumple que:

r < d D = d x c + r

1Marca en cada cuadro lo que corresponda.

Escribe dos divisiones exactas con cada grupo de números.

1Decide si los siguientes números son múltiplos del 3 o del 8:

2Responde SÍ o NO:

Problemas

3Resuelve.

Juan tiene en su hucha solo monedas de 2 €. ¿Puede tener en la hucha 128 €? ¿Y 153 €?

¿Por qué?

Para estudiar

En el colegio tienen 18 pósteres. En cada clase quieren colgar el mismo número de pósteres y que no sobre ninguno.

Si se ponen 3 pósteres en cada clase:

La división es exacta. No sobra ningún póster.
Se pueden poner 3 pósteres en cada clase.
El número 3 es divisor de 18.

Si se ponen 4 pósteres en cada clase:

La división es entera. Sobran 2 pósteres.
No se pueden poner 4 pósteres en cada clase.
El número 4 no es divisor de 18.

La división 18 : 3 es exacta.

3 es divisor de 18.

18 es múltiplo de 3.

Si la división a : b es exacta, entonces b es divisor de a y a es múltiplo de b.

1De las palabras de la derecha, elige las adecuadas para completar cada afirmación.

2Completa el cálculo de la división que resuelve el problema y luego responde a la pregunta del problema escribiendo SÍ o No.

3Completa cada oración con la palabra múltiplo o divisor.

3 es
de 15.
15 es
de 3.

2 es
de 24.
24 es
de 2.

42 es
de 7.
7 es
de 42.

18 es
de 6.
6 es
de 18.

1Contesta, razonando tu respuesta.

Si un número es divisible por 2, ¿puede ser su última cifra 3?
La suma de las cifras de un número es igual a 6. ¿Es un número divisible por 3?
¿Qué valores puede tener la última cifra de un número divisible por 5?
Un número tiene como última cifra 0. ¿Por qué números es divisible siempre?

2Asocia cada número con el número por el que es divisible.

3Responde a las siguientes preguntas con un SÍ o un NO:

Un número impar ¿es divisible por 3?

Un número acabado en 0 ¿es divisible por 5? ¿Y por 2?

Si las cifras de un número suman 15, ¿es divisible por 3?

Si la última cifra de un número es 5, ¿es divisible por 5? ¿Y por 2?

Si la última cifra de un número es 6, ¿es divisible por 2?

¿36 es divisible por 2? ¿Y por 3? ¿Y por 5?

Si la suma de las cifras de un número es múltiplo de 5, ¿el número es siempre divisible por 5?

4De cada recuadro, elige los números que cumplen la condición indicada.

Problemas

5Resuelve estos problemas:

6Resuelve.

Andrea va al banco a cambiar dinero por monedas de 2 € y le dan una bolsa con todas las monedas.
¿Puede tener la bolsa 485 €? ¿Y 484 €? ¿Por qué?
Marcos recibe un pedido de latas. Las latas vienen en packs de 3 latas.
¿Puede recibir Marcos 125 latas? ¿Y 204 latas? ¿Por qué?
Una lavadora cuesta 750 €.
¿Se podría pagar solo con billetes de 5 €? ¿Y con billetes de 10 €? ¿Por qué?

1Marca todos los divisores de cada número.

Calcula todos los divisores de cada número y contesta:

¿Es el 1 un divisor de 4? ¿Y de 6?
¿Qué divisores tienen 4 y 6 en común?

¿Es el 1 un divisor de 12? ¿Y de 15?
¿Qué divisores tienen 12 y 15 en común?

Problemas

3Resuelve.

El profesor de gimnasia quiere hacer, con sus 20 alumnos, equipos con el mismo número de personas
y sin que quede ninguna sola.
¿Cuántos alumnos puede poner en cada equipo?
Susana quiere poner 18 fotos en su álbum. En cada página quiere poner el mismo número de fotos y sin que le sobre ninguna.
¿Cuántas fotos puede poner en cada página?
Pablo tiene que enviar 30 libros. Quiere hacer paquetes con el mismo número de libros y sin que sobre ninguno.
¿Cuántos libros puede poner en cada paquete? ¿Cuántas cajas necesitará en cada caso?
Marta tiene 24 rosquillas. Desea envasarlas en bolsas con el mismo número de rosquillas sin que quede ninguna.
¿Cuántas rosquillas puede poner en cada bolsa? ¿Cuántas bolsas usará en cada caso?

1Decide si estos números son primos o compuestos.

2Escribe todos los números primos menores que 100.

Razonamiento

Contesta y razona tu respuesta

¿Puedes escribir todos los múltiplos de un número? ¿Y todos los divisores?
¿Cuántos divisores tiene un número como mínimo? ¿Cuáles son?

Descifrar códigos secretos

En la librería de Alfredo y en muchos otros comercios es posible pagar con tarjeta. A la hora de hacer esos pagos es muy importante que los datos viajen de forma segura para evitar fraudes. Para ello se utilizan códigos que hagan muy difícil descifrar esas informaciones. En ellos se usan a menudo los números primos.

Observa este método, más sencillo que los de las compras, en el que usaremos los números primos para trabajar con códigos secretos.

A cada letra del alfabeto le asociamos un número de dos cifras. A la letra A le asignamos el 10, a la B, el 11 y así sucesivamente.
Para que los números asociados no sean todos consecutivos, y hacer la clave más difícil, a la hora de escribir el mensaje, si el número correspondiente a la letra es primo, se deja como está, y si es compuesto, se le suma un número fijo, por ejemplo, 30.
Es conveniente, para cifrar y descifrar mensajes, utilizar una tabla con las equivalencias entre números y letras.

¿Qué números son primos entre el 10 y el 36?
Construye una tabla con el alfabeto y el número asociado a cada letra tal y como se indica en el texto. Esta tabla se usará para cifrar mensajes. Después, construye la tabla que se debe usar para descifrar los mensajes secretos escritos con este método.
Con el método anterior, cifra esta frase:
Utiliza la tabla de descifrado para leer este mensaje:

TRABAJO COOPERATIVO. Inventa con tu compañero otro método, diferente al visto, para escribir mensajes secretos utilizando los números primos y explicad sus ventajas e inconvenientes.

1. Repasa lo esencial

Actividades para escribir

Actividades finales

1. Contesta.

¿Cómo calcularías los diez primeros múltiplos de 5? Escríbelos.
¿Cómo calcularías los diez primeros múltiplos de 8? Escríbelos.

2. Completa.

3 y 5 son
de 15.
15 es
de 3 y de 5.

24 es
de 4 y de 6.
4 y 6 son
de 24.

3. Calcula todos los divisores de cada número y contesta.

¿Qué números son primos? ¿Por qué?

4. Calcula los divisores de los números de cada grupo y, después, rodea los divisores que son comunes a todos.

De los divisores comunes de 9 y 12, ¿cuál es el mayor?
¿Y de los divisores comunes de 8, 12 y 14? ¿Y de los divisores de 8 y 9?

5. Busca y escribe.

Los números menores que 60 que son divisibles por 2 y por 3.
Los números comprendidos entre 40 y 100 que son divisibles por 2 y por 5.
Los números menores que 60 que son divisibles por 3 y por 5.
Los números menores que 80 que son divisibles por 2, por 3 y por 5.

6. Lee y resuelve.

Gerardo tiene que empaquetar 24 cafeteras en cajas, todas con igual número de cafeteras sin que sobre ninguna. ¿De cuántas formas lo puede hacer Gerardo?
Un cuento tiene entre 100 y 110 páginas. Si las cuentas de 2 en 2, no sobra ninguna, y si las cuentas de 3 en 3, tampoco. ¿Cuántas páginas puede tener el cuento?
Ramiro tiene 120 flores. Quiere hacer ramos que tengan igual número de flores y deben ser menos de 10 ramos. Si no debe sobrar ninguna flor, ¿cómo puede hacer los ramos?

Repaso acumulativo

1. Escribe el valor en unidades de las cifras 3 en cada número.

237.850.300
237.850.300

703.402.013
920.363.537

2. Aplica la propiedad distributiva y calcula.

9 × (14 – 8)
50 × (17 + 3)

(25 + 7) × 6
(16 – 9) × 40

3. Completa la tabla.

Dividendo	Divisor	Cociente	Resto
	76	94	0
	82	503	45
	345	168	0
	491	270	106

4. En una fábrica envasan cada día 3.200 bandejas grandes de tomates y 4.108 pequeñas. ¿Cuántos tomates envasan cada día en total?

5. Ana ha obtenido 460 puntos en un juego, Javi el triple que ella y Olga la mitad que él. ¿Cuántos puntos ha sacado Olga más que Ana?

6. Pablo ha comprado varias jardineras iguales. Ha entregado para pagar 4 billetes de 50 € y le han devuelto 38 €. ¿Cuántas jardineras ha comprado, si cada una cuesta 27 €?

2. Ponte a prueba

Evaluación de la unidad

Demuestra tu talento

¿Cuál es el mayor número de seis cifras, todas diferentes, que es múltiplo de 3?

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Para comenzar

¿Cómo llegan los libros a las librerías?

División exacta y división entera

1. Múltiplos de un número

Problemas

2. Divisores de un número

Para estudiar

3. Criterios de divisibilidad

Problemas

4. Cáculo de todos los divisores de un número

Problemas

5. Números primos y compuestos

Razonamiento

Saber hacer

Descifrar códigos secretos

Para terminar

1. Repasa lo esencial

Actividades finales

Repaso acumulativo

2. Ponte a prueba

Evaluación de la unidad

Demuestra tu talento