Divisibilidad

¿De dónde viene la miel?

Desde la prehistoria el ser humano ha utilizado la miel como alimento y como sustancia medicinal por sus propiedades.

La miel es una sustancia viscosa, de color amarillento y muy dulce, que producen las abejas a partir del néctar de las flores. La almacenan en panales y sirve como alimento a la colmena.

Los apicultores cogen los panales y extraen la miel, que se lleva a una planta de tratamiento donde se refina y se envasa en frascos de distintos tamaños. Sonia es apicultora y en su planta de envasado la máquina envasa 1.920 frascos por hora, que luego se agrupan por tamaños: los frascos grandes se agrupan en cajas de una docena y los medianos en cajas de 20 unidades.

Una tienda ha comprado 3 cajas de frascos grandes y 5 cajas de frascos medianos. ¿Cuántos frascos grandes ha comprado? ¿Y medianos?
Si la máquina solo envasara frascos de un tipo, ¿cuántas cajas de frascos grandes envasaría cada hora? ¿Y de frascos medianos?
Los pedidos a las tiendas se sirven en cajas enteras. Para comprar 150 frascos grandes, ¿cuántas cajas hay que pedir? ¿Sobrará algún frasco? ¿Y para comprar 80 medianos?
EXPRESIÓN ORAL. ¿Hay algún número de frascos que se pueda envasar tanto en cajas grandes como en cajas pequeñas sin que sobre ningún frasco? ¿Cómo lo has averiguado?

¿Qué sabes ya?

Múltiplos y divisiones

Números primos y compuestos

Un número es primo cuando solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.
Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

1Completa cada afirmación eligiendo el número correcto.

Piensa y contesta.

Al dividir un número par entre 2, ¿la división es exacta?
Un número par distinto de 2 ¿puede ser primo? ¿Por qué?

1Marca todos los divisores de los números indicados

2Contesta y razona tu respuesta.

¿Puedes escribir todos los múltiplos de un número? ¿Puedes hallar todos sus divisores?
¿Cuántos divisores tiene un número como mínimo? ¿Cuáles son?

Problemas

3Se quieren guardar las pelotas de cada deporte en redes con igual número de pelotas cada una sin que sobre ninguna pelota. ¿Cuántas se podrían meter en cada red?

1Aplica los criterios de divisibilidad y averigua qué números son divisibles por 2, por 3, por 5, por 9 o por 10.

¿Hay algún número que sea divisible por 2, por 3 y por 5 a la vez?
¿Hay algún número que sea divisible por 3, por 9 y por 10 a la vez?
¿Hay algún número que sea divisible por todos ellos?

2Piensa y contesta cada pregunta eligiendo "Sí" o "No".

3Decide qué número de los que aparecen cumple las condiciones indicadas en cada caso y colócalo en la caja correcta.

1Calcula.

m.c.m. (2 y 5)
m.c.m. (3 y 4)
m.c.m. (3 y 6)

m.c.m. (4 y 7)
m.c.m. (5 y 8)
m.c.m. (3, 6 y 9)

2Calcula el mínimo común múltiplo de los números indicados.

Responde a las siguientes preguntas: (500 palabras máximo cada pregunta)

3Piensa y calcula. Andrea va a casa de sus abuelos cada 3 días y su primo David los visita cada 4 días. Hoy han coincidido los dos. ¿Cuántos días como mínimo han de pasar para que ambos vuelvan a coincidir?

4Marca los puntos de las afirmaciones correctas.

1Calcula.

m.c.d. (8 y 10)
m.c.d. (9 y 15)
m.c.d. (10 y 12)

m.c.d. (15 y 27)
m.c.d. (20 y 26)
m.c.d. (16, 24 y 32)

2Calcula y relaciona correctamente.

3Lee y contesta.

Lucía tiene un bidón con 10 litros de zumo de naranja y otro con 6 litros de zumo de limón.
Llena con el zumo de cada bidón, sin mezclarlos, botellas de igual capacidad y no le sobra nada.
¿Qué capacidad tendrán, como máximo, las botellas? ¿Cuántas botellas obtendrá en ese caso?

Razonamiento

¿Es correcta esta frase? ¿Por qué?

Si el máximo común divisor de dos números es 1, esos dos números son primos.

1Decide si tienes que calcular el m.c.d. o el m.c.m. para resolver los problemas indicados.

2Piensa y resuelve.

Un semáforo se pone rojo cada 14 segundos y otro semáforo cada 8 segundos. A las 9:30 los dos semáforos estaban en rojo. ¿Cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a estar los dos en rojo por primera vez?
Ángela tiene 12 refrescos y 10 zumos. Los coloca en bolsas con igual número de bebidas, todas del mismo tipo, de manera que haya el mayor número posible en cada bolsa y no sobren. ¿Cuántas bebidas debe poner en cada bolsa?
Alfredo tiene una tablilla rectangular de 18 cm de largo y 20 cm de ancho. Corta la tablilla en cuadrados iguales lo más grandes posible. ¿Cuánto mide el lado de cada cuadrado?
Iván tiene gripe y toma un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12 horas. Acaba de tomarse las dos medicinas juntas. ¿Dentro de cuántas horas tomará por primera vez de nuevo las dos medicinas juntas?

3Calcula el mínimo común múltiplo de 2, 3 y 4. Sigue estos pasos y completa.

4Calcula el máximo común divisor de 12, 18 y 30. Sigue estos pasos y completa.

5Completa las respuestas escribiendo en cada caja lo que corresponda.

6Completa la solución del problema.

Organizar un campamento

En el mismo pueblo donde Sara tiene su planta de envasado, una asociación juvenil celebra habitualmente campamentos. Sara a menudo colabora con ellos en las tareas de organización y ayuda a la hora de los juegos, la comida, el alojamiento…

Piensa y resuelve.

La semana pasada en el campamento hubo entre 70 y 80 campistas. Se hicieron grupos de 2 para una carrera y de 9 para un concurso y nadie quedó sin participar. ¿Cuántos campistas asistieron?
Sara tiene 40 botes de refresco y los quiere repartir en bolsas de manera que en cada una haya el mismo número de refrescos. ¿De cuántas formas puede hacerlo?
Para la merienda Sara tiene 20 bocadillos de jamón y 12 bocadillos de jamon york. Quiere hacer platos con el mismo número de bocadillos, todos del mismo tipo, y que no sobre ninguno. Si lo hace de manera que el número de bocadillos sea el máximo posible, ¿cuántos platos obtendrá?

TRABAJO COOPERATIVO. Resuelve con tu compañero.

En el campamento de esta semana hay 30 chicas y 18 chicos. Para una actividad se quieren hacer grupos iguales con el mismo número de chicas que de chicos, de manera que el número de grupos total sea el mínimo posible.

¿Cómo pueden hacerlo?
¿Cuántos grupos se obtendrán en total?
¿Cuántas personas habrá en cada grupo?

1. Repasa lo esencial

Actividades para escribir

Actividades finales

1. Contesta.

¿Cómo calcularías los diez primeros múltiplos de 3? Escríbelos.
¿Cómo calcularías todos los divisores de 40? Hállalos.

2. Piensa y completa. Usa las palabras múltiplo, divisor y divisible.

42 es
de 7.
8 es
de 24.
60 es
por 6.

9 es
de 90.
60 es
por 5.
40 es
de 8.

3. Estudia la divisibilidad por 2, por 3, por 5, por 9 y por 10 de cada número.

4. Calcula.

m.c.m. (6 y 10)
m.c.m. (10 y 16)

m.c.m. (7 y 14)
m.c.m. (6, 8 y 12)

5. Calcula.

m.c.d. (9 y 12)
m.c.d. (15 y 18)

m.c.d. (20 y 40)
m.c.d. (8, 38 y 62)

6. Piensa y resuelve.

Un jardinero quiere colocar 20 rosas, 18 margaritas y 12 claveles en jarrones. En cada jarrón pone el mismo número de flores, todas de igual tipo, y no le sobran. ¿Cuántas flores como máximo puede poner en cada jarrón?
Paula tiene un reloj que suena cada 30 minutos y otro que suena cada 15 minutos. A las 9 de la mañana los dos relojes han sonado. ¿Cuántos minutos, como mínimo, han de pasar hasta que vuelvan a coincidir?
Yolanda ha partido una pieza de tela, de 20 m de largo por 8 m de ancho, en piezas cuadradas lo más grandes posible y sin que le sobre nada de tela. ¿Cuánto mide el lado de cada pieza?

7. Resuelve. Angie está estudiando los hábitos de un animal y ha colocado cuatro cámaras que hacen una foto cada cierto tiempo.

A las 8 de la mañana las cuatro cámaras han coincidido y han hecho todas una fotografía.

¿Cuántos minutos, como mínimo, pasarán hasta que vuelvan a coincidir las cámaras 1 y 2? ¿Y las cámaras 3 y 4?
¿Cuántos minutos pasarán hasta que coincidan las cámaras 1, 2 y 3? ¿Y las cámaras 2, 3 y 4?
¿A qué hora volverán a coincidir por primera vez las cuatro cámaras?

Repaso acumulativo

1. Escribe qué número es.

6 × 10⁶ + 4 × 10⁴ + 3 × 10²
2 × 10⁷ + 6 × 10⁵ + 8 × 10⁴ + 9
4 × 10⁵ + 3 × 10⁴ + 2 × 10 + 5
8 × 10⁶ + 7 × 10³ + 9 × 10

2. Calcula.

(12 – 3 + 4) × 2 – 18 : 3 + 12
(15 + 12) : 3 + (8 + 9 – 2) × 4
4 × 9 + 20 : 4 – 18 + 9 × 3
20 – 2 × 4 – 15 : 3 – 2 × 2

3. Nombra con letras los vértices de cada triángulo y escribe sus coordenadas.

4. En la planta de envasado de una fábrica, cada hora envasan 1.400 litros de refresco de naranja y 800 litros de limón, todos ellos en botellas de 2 litros. ¿Cuántas botellas se llenan en 3 días si la fábrica no para nunca?

5. A una conferencia fueron 146 hombres y 124 mujeres. Un tercio de los de 40 asistentes eran personas mayores de 40 años. ¿Cuántas personas menores años asistieron?

6. En una tienda compraron 25 portátiles a 790 € cada uno y 95 a 590 €. Después de tres meses, habían vendido 12 portátiles de 790 € y 70 de 590 €. El resto de portátiles los vendieron todos a 650 €. ¿Ganaron o perdieron dinero? ¿Cuántos euros?

2. Ponte a prueba

Evalúate

Demuestra tu talento

Si sumas dos números primos, ¿el resultado puede ser primo? ¿Y si los multiplicas? ¿Por qué?

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Para comenzar

¿De dónde viene la miel?

Múltiplos y divisiones

Números primos y compuestos

1. Cálculo de todos los divisores de un número

Problemas

2. Criterios de divisibilidad

3. Mínimo común múltiplo

4. Máximo común divisor