La aritmética

La aritmética es la disciplina dentro de las matemáticas que estudia los números naturales, enteros y racionales (estos dos últimos tipos los veremos más adelante) y trata las operaciones definidas entre ellos. La aritmética ha estado presente en todas las civilizaciones y, al parecer, las primeras constancias de su desarrollo se encuentran en la antigua Babilonia y Egipto como herramienta para el comercio.

Los matemáticos y filósofos griegos Pitágoras y Euclides fueron quienes dieron valor al concepto de número y sus propiedades, y Diofanto de Alejandría (siglo III a. C. aprox.) dio el empujón definitivo a la aritmética con su obra Aritmética, que fue referente de esta materia durante casi dos milenios.

En el siglo XVII Pierre de Fermat (1601-1665) y en el siglo XIX Giuseppe Peano (1858-1932) formalizaron y desarrollaron la aritmética hasta llevarla a la forma en que la conocemos en la actualidad.

El italiano Giuseppe Peano (1858-1932) fue el matemático que definió las reglas (axiomas) para poder construir los números naturales, a partir de los cuales se puede definir el resto de los tipos de números.

La matemática a nuestro alrededor
 

• Aunque los usamos sin pensar, estamos usando números naturales todos los días. Se usan para contar objetos, personas, animales...

• Algunos ejemplos de números naturales son el DNI, ordenar alumnos en la lista de clase o contar el número de hermanos.

• Busca otros tres ejemplos en los que uses números naturales en tu vida 

Excel nos ayuda a resolver operaciones con números naturales de manera muy sencilla. Vamos a resolver la siguiente operación: 6 – (9 – 4) ⋅ (7 – 6) + 3 ⋅ 5 + 9 : 3.

Para multiplicar en Excel, debemos usar el símbolo * en vez del símbolo ⋅. Y, para dividir, usaremos el símbolo / en vez de :. Por tanto, la operación quedaría:

6 – (9 – 4) * (7 – 6) + 3 * 5 + 9 / 3

Pasos:

1. Situar el cursor en una celda cualquiera, por ejemplo, la A1.

2. Escribir en la barra de funciones la expresión:

= 6 – (9 – 4) * (7 – 6) + 3 * 5 + 9 / 3

No olvides el símbolo =.

3. Pulsar la tecla INTRO. Aparece el resultado, en nuestro ejemplo, 19. Compruébalo.

Números romanos

1. La inscripción corresponde a distintos lugares en los que aparecen números romanos. ¿A qué año se refieren?

a) MDCCLXXVIII-Puerta de Alcalá, Madrid

b) MCMLXXIV-Loba capitolina en Segovia (Roma a Segovia en el bimilenario de su acueducto)

c) MDCCLXXVI-Fecha de la Independencia de los EE. UU. en el billete de 1$.

2. Escribe con números romanos el año y el siglo en el que ocurrieron los siguientes hechos históricos:

a) Erupción del Vesubio el 24 de agosto del 79 que sepulta las ciudades de Pompeya y Herculano

b) Caída del Imperio romano de Occidente en el año 476

c) Toma de Granada por los Reyes Católicos en 1492

d) Pascal diseñó y construyó la primera calculadora en 1642

e) Caída del muro de Berlín en 1989

Sistema de numeración decimal

1. Con las cifras 2, 3 y 7 forma todos los números que sean posibles y ordénalos de menor a mayor.

1. A continuación se indica la población de algunos países. Escríbela con letras:

a) China: 1 360 763 000

b) España: 47 129 783

c) San Marino: 31 247

d) Islandia: 320 137

1. La población mundial es aproximadamente de siete millones cuarenta y seis mil personas. Escribe esa cifra con números.

1. Observa la disposición de los siguientes números en una tabla y responde a las preguntas:

a) ¿Cuántas unidades hay en 852 decenas?

b) ¿Cuántas centenas hay en 3 544 unidades?

c) ¿Cuántas decenas de millar hay en 4 748 520?

1. Realiza la descomposición polinómica de los siguientes números:

a) 3 017    b) 103 030    c) 1 234

Operaciones con números naturales. Propiedades

1. Estima mentalmente el resultado aproximado de las siguientes operaciones. Comprueba a continuación que lo has hecho correctamente efectuando la operación:

a) 235 + 55 + 92

b) 957 – 447 – 20

c) 703 ⋅ 198

d) 45 738 : 506

e) 23 564 + 2 485 + 9 233

f) 95 789 – 45 398 – 25 310

1. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones e indica, en cada caso, si la división es exacta o entera:

a) 756 : 27

b) 18 333 : 315

1. Recuerda la disposición de los elementos en una división y la propiedad fundamental que cumplen

Aplícala para completar la siguiente tabla:

Jerarquía de operaciones. Uso del paréntesis

1. Realiza las siguientes operaciones:

a) 7 ⋅ 8 – 3 ⋅ 4 – 2 ⋅ 5 + 4 ⋅ 8

b) 50 ⋅ 6 – 3 ⋅ 5 – 5 ⋅ 4

c) 9 ⋅ 7 V 4 ⋅ 12 – 3 ⋅ 2 + 36

d) 60 – 30 ⋅ 2 + 15 ⋅ 3

e) 97 – 4 ⋅ 21 – 3 ⋅ 4

f) 14 – 12 : 4 + 2 ⋅ 8 : 4 – 12 ⋅ 5 : 6

1. Calcula y observa la diferencia:

1. Calcula directamente y aplicando la propiedad distributiva:

a) 6 ⋅ (35 – 25 – 5)    b) (18 – 9 + 7) ⋅ 3

1. Aplica la propiedad distributiva para escribir estas operaciones de otra manera:

a) 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 9

b) 4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 7

c) 8 ⋅ 5 – 7 ⋅ 5

d) 6 ⋅ 7 – 6 ⋅ 3

1. Opera:

a) 16 – 4 ⋅ 3 + (4 + 3) ⋅ 9 – 12 : (26 – 4 ⋅ 5)

b) 4 + (6 + 2) ⋅ 7 – 9 ⋅ (10 – 2) : 4 – 7 ⋅ 6

c) (15 + 13 – 4) ⋅ 2 – (9 – 6 + 5) ⋅ (9 – 5)

d) 6 ⋅ (12 – 8 + 3) – 5 ⋅ (8 – 7 + 5) : (14 – 9)

1. Calcula:

a) (2 + 6 – 3) ⋅ 5 + (4 – 3 + 8) ⋅ 9 – 32 : 8

b) 24 + (5 + 3) ⋅ 2 – 5 ⋅ (13 – 5) : 4 – 4 ⋅ 5

c) (5 – 2 + 12) ⋅ (17 – 8) – (14 – 4 – 7) ⋅ 10

d) 56 + 4 ⋅ (9 + 9 – 3) –  6 ⋅ (6 – 2 ⋅ 2) : 6

1. Calcula (presta atención a los corchetes):

a) [19 – (24 – 2 · 9) 18] – (8 – 6) · 9 + 32 : [18 – 7 · (3 – 1)]

b) 5 · [39 – 5 · (14 – 8)] – 3 · [20 – 5 · (10 – 3 · 2]

c) 23 – 4 · [14 – 2 · (3 + 4)] – (14 · 6 – 4) : (7 + 3)

d) 246 : [4 · (8 – 3 + 5) + 9 · (9 – 4 +5) : 2 – 6 · (8 – 3 · 2) : (12 – 8)]

Problemas

18. Averigua qué tres números naturales consecutivos suman 78.

1. Al abrir un libro al azar, la suma de los números de las dos páginas da 565. ¿Por qué páginas he abierto el libro?

1. La suma de los tres números consecutivos de los portales de una calle es 78. ¿De qué tres números se trata?

1. Las edades de Jaime, Antonio y Andrea suman 131. Si Jaime tiene 41 años y los otros dos son mellizos. ¿Cuántos años tienen Andrea y Antonio?

1. Los alumnos de 1.º de ESO visitaron una exposición de matemáticas. En total pagaron 123 € y cada entrada salió a 3 €. ¿Cuántos alumnos asistieron?

1. La distancia de Madrid a Barcelona es de 505 km. Si hemos realizado el viaje en 5 horas, ¿qué velocidad media hemos llevado?

1. Calcula el número de ventanas que tendrá un colegio de 7 plantas y con tres ventanas por planta.

1. Clara compró seis pendrives por 42 euros. Si Begoña ha comprado cuatro iguales, ¿cuánto tendrá que pagar?

1. Ismael ha cambiado dos cromos de la liga de fútbol por tres de superhéroes. ¿Cuántos cromos de superhéroes le darán por 14 cromos de fútbol?

1. Para realizar el siguiente proyecto de curso, se va a dividir a los 77 alumnos del instituto de 1.º de ESO en grupos. Se pretende que cada grupo esté formado por 6 estudiantes. ¿Cuántos grupos de 6 se formarán? ¿Cuántos alumnos quedarán en el único grupo con menos de 6 alumnos?

1. Se va a realizar un campeonato de baloncesto en el instituto. Cada equipo lo formarán siete chicos y chicas (cinco jugando y dos suplentes). Si se han apuntado 53 alumnos, ¿cuántos equipos podremos formar? ¿A cuántos alumnos tendremos que convencer para que se forme un equipo más?

1. Un manantial de agua mineral mana cada día 25 000 litros de agua. Si se embotellan en garrafas de 8 litros, ¿cuántas se producen cada día?

1. En un invernadero tienen 14 cajas con 20 rosas cada una. Si reciben un pedido 22 ramos de una docena de rosas cada uno, ¿podrán atender el pedido? En caso afirmativo, ¿cuántas rosas les sobrarán? En caso negativo, ¿cuántas rosas les faltarán?

1. Alba necesita comprar 10 cuadernos para este curso. Cada uno cuesta 3 € en la papelería, pero si se compran cuatro juntos, cuestan 9 € los cuatro. ¿Cuánto gastará Alba en los cuadernos si aprovecha la oferta?

1. Juan va a invitar a sus amigos al cine por su cumpleaños. En total irán 14 compañeros. Si cada entrada individual cuesta 6 € y hay disponibles bonos de 5 entradas por 27 €, ¿cuánto tendrá que pagar si coge la opción que le resulta más barata?

1. Johann Carl Friedrich Gauss es uno de los matemáticos más importantes de la historia. Murió en 1855 a los 78 años. Marie-Sophie Germain es una matemática de su misma época que tuvo que trabajar de forma independiente debido al prejuicio que existía en su época hacia las mujeres. Nació en 1776 y murió a los 55 años. Calcula el año en el que nació Gauss y en el que murió Marie-Sophie.

1. Una finca rectangular mide 42 metros de largo por 38 metros de ancho. Se desea cercar con una valla que se vende en lotes de 50 metros.

a. ¿Cuántos lotes tendremos que comprar para cercar la finca?

b. ¿Cuántos metros de valla nos sobrarán?

Entre los próximos días 7 y 18 de septiembre se celebrará la vuelta ciclista a la comunidad autónoma. Esta carrera se desarrollará en 13 etapas.

Características de la prueba

1. Cómo se escribe 2 794 con signos romanos:

a) MMDCCXCIV

b) CMMMDCCXCIV

c) MMDCCLXXXXIIII

d) a y c son válidas

2. ¿Qué número se escribe en signos romanos DXXIV?

a) 74   

b) 1 024   

c) 524   

d) 574

1. Cuál es la descomposición polinómica de 62 705:

a) 6 ⋅ 1 000 + 2 ⋅ 100 + 7 ⋅ 10 + 5

b) 6 ⋅ 10 000 + 2 ⋅ 100 + 7 ⋅ 10 + 5

c) 6 ⋅ 10 000 + 2 ⋅ 1 000 + 7 ⋅ 100 + 5

d) 6 ⋅ 10 000 + 2 ⋅ 1 000 + 7 ⋅ 100 + 5 ⋅ 10

1. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?

60 – 50 : 5 + 150 : 3

a) 52   b) 100    c) 50    d) 12

1. ¿En cuál de estos apartados se ha aplicado correctamente la propiedad distributiva para realizar la operación 3 ⋅ (9 – 3 + 5)?

a) = 3 ⋅ (11) = 33

b) = 3 ⋅ (6 + 5) = 18 + 15 = 33

c) = 27 – 9 + 15 = 33

d) = 3 ⋅ 6 – 3 ⋅ 5 = 18 – 3 ⋅ 5 = 15 ⋅ 5 = 75

1. El ganador de la maratón de Nueva York en 2013 tardó 2 horas, 8 minutos y 24 segundos en los 42,195 km. de recorrido. ¿Cuál fue el tiempo expresado en segundos?

a) 7 704  b) 42 195  c) 7 680  d) 7 680,4

1. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?

40 – 5 ⋅ (4 + 3) – 20 : (6 ⋅ 5 – 25)

a) 45   b) 1   c) 241   d) 3

1. ¿Cuáles son el cociente y el resto de esta división 1 485 : 16 ?

a) C = 13; r = 92

b) C = 3: r = 93

c) C = 93; r = 3

d) C = 92; r = 13

1. A una actividad de remo nos hemos apuntado 38 compañeros. Si en cada barca caben 4, ¿cuántas barcas necesitaremos? ¿Cuántas irán llenas?

a) 9 barcas, 9 irán llenas

b) 10 barcas, 10 irán llenas

c) 10 barcas, 9 irán llenas

d) 10 barcas, 8 irán llenas

1. Un comerciante compra 90 latas de mejillones a 2 euros cada una y las vende en lotes de tres, cada uno por 8 euros. ¿Qué beneficio obtendrá por la venta?

a) 240 euros

b) 540 euros

c) 60 euros

d) 180 euros