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  • 1. Números naturales > Unidad 1. Números naturales
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      1. Números naturales
      Unidad 1. Números naturales
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      1. Los números naturales

      P

      En esta unidad

      1. Números naturales
      2. Sistema de numeración decimal
      3. Operaciones con números naturales
      4. Jerarquía de operaciones
      5. Uso de paréntesis
      6. Propiedades con paréntesis
       

        Vamos a aprender a... Competencias
      Saberes
      científicos
      • Identifica los números naturales y los utiliza para representar e interpretar adecuadamente la información cuantitativa.
      • Realiza operaciones combinadas (suma, resta, producto y división) entre números naturales, bien mediante el cálculo mental y algoritmos de lápiz y papel o calculadora, bien utilizando la notación más adecuada.
      CMCT, CPAA
      Lectura
      y comprensión
      • Realiza una lectura comprensiva del enunciado del problema e identifica los datos de los problemas propuestos.
      • Comunica los resultados obtenidos y explica, mediante un lenguaje preciso y claro, las ideas y el proceso seguido.
      CMCT, CCL
      Tratamiento
      de la información
      y competencia
      digital
      • Realiza cálculos numéricos utilizando las tecnologías de la información.
      • Realiza búsquedas en la Red de una manera sistematizada y crítica comparando diversas opciones.
      CMCT, CD
      Aprende a
      aprender ciencia
      • Elabora informes científicos con el nivel adecuado sobre alguno de los problemas resueltos o sobre la investigación realizada.
      • Comunica oralmente o por escrito sus ideas matemáticas y de manera ordenada y organizada.
      CMCT, CPAA, SIE
      La ciencia
      en la sociedad
      • Practica actitudes propias del quehacer matemático (a su nivel): se hace preguntas, siente curiosidad, indaga, profundiza en algún problema planteado, elabora conjeturas, justifica sus razonamientos.
      CMCT, CSC
      Proyecto: La
      gestión del
      stock de un almacén
      • Calcular las cantidades y costes.
      CD, CCL, CMCT, CPAA, SIE, CSC

       

      La aritmética

      La aritmética es la disciplina dentro de las matemáticas que estudia los números naturales, enteros y racionales (estos dos últimos tipos los veremos más adelante) y trata las operaciones definidas entre ellos. La aritmética ha estado presente en todas las civilizaciones y, al parecer, las primeras constancias de su desarrollo se encuentran en la antigua Babilonia y Egipto como herramienta para el comercio.

      Los matemáticos y filósofos griegos Pitágoras y Euclides fueron quienes dieron valor al concepto de número y sus propiedades, y Diofanto de Alejandría (siglo III a. C. aprox.) dio el empujón definitivo a la aritmética con su obra Aritmética, que fue referente de esta materia durante casi dos milenios.

      En el siglo XVII Pierre de Fermat (1601-1665) y en el siglo XIX Giuseppe Peano (1858-1932) formalizaron y desarrollaron la aritmética hasta llevarla a la forma en que la conocemos en la actualidad.

      El italiano Giuseppe Peano (1858-1932) fue el matemático que definió las reglas (axiomas) para poder construir los números naturales, a partir de los cuales se puede definir el resto de los tipos de números.

      La matemática a nuestro alrededor
       

      • Aunque los usamos sin pensar, estamos usando números naturales todos los días. Se usan para contar objetos, personas, animales...
      • Algunos ejemplos de números naturales son el DNI, ordenar alumnos en la lista de clase o contar el número de hermanos.
      • Busca otros tres ejemplos en los que uses números naturales en tu vida 
      1. Números naturales
      Unidad 1. Números naturales
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      P

      1Números naturales 

      El conjunto de los números naturales se representa por la letra normal números naturales y se corresponde con el siguiente conjunto de números:

      normal números naturales espacio igual espacio llave izquierda 1 coma espacio 2 coma espacio 3 coma espacio 4 coma espacio 5 coma espacio 6 coma espacio 7 coma espacio 8 coma espacio 9 coma espacio 10 coma espacio 11 coma espacio... coma espacio 20 coma espacio... coma espacio 1   000 coma espacio... llave derecha

      Aunque el 0 es una cifra que se usa para expresar números naturales, no es propiamente un número natural.

      Tenemos que saber que los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 no siempre se han escrito de esta manera de hecho, la representación que conocemos en la actualidad proviene de la escritura árabe.

      1.1. Números romanos

      Además del sistema decimal, el sistema de numeración para expresar números naturales que nos resulta más conocido es el de los números romanos. Este sistema utiliza letras para representar números cuya equivalencia con el sistema decimal es la siguiente:

      I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1.000

      Las reglas prácticas para usar los números romanos son las siguientes:

      • Los valores de las letras I, X y C se suman.
      • Las letras I, X y C pueden repetirse hasta tres veces seguidas.
      • La letra M se puede poner tantas veces como haga falta.
      • Las letras V, L y D solo se pueden poner una vez.
      • Si una letra está a la derecha de otra de mayor valor, se suman sus valores.
      • Si una letra está a la izquierda de otra de mayor valor, se restan sus valores.

      EJEMPLOS

      • III = 1 + 1 + 1 = 3
      • VI = 5 + 1 = 6
      • MV = 1 000 + 5 = 1 005
      • DCXII = 500 + 100 + 10 + 2 = 612
      • CMLII = 1 000 – 100 + 50 + 2 = 952
      • MCMLIV = 1 000 + 1 000 – 100 + 50 + 5 – 1 = 1 954

      !

      Representación indoarábiga

      Nuestro sistema de numeración procede del sistema de numeración de­sarrollado en la India, que introdujeron los árabes en Europa, de ahí su nombre: sistema indoarábigo.

       

      Ejercicios y actividades

      1. Escribe mediante números romanos los siguientes números:

      a) 512

      b) 473

      c) 2 348
       

      d) 3 999

      e) 444

      1. Escribe en sistema decimal los siguientes números romanos:

      a) MCIX

      b) CDXXIV

      c) MCMLIX
       

      d) DCCCXLVIII

      e) MMXIV

      f) CMXCIX

      1. Los números naturales
      1. Números naturales
      Unidad 1. Números naturales
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      P

      2 Sistema de numeración decimal

      El sistema de numeración romano tiene muchos problemas. Quizá el más importante es que no se puede operar con sencillez. Por ejemplo, si quisié­ramos sumar los números MCCIV y CDLII, tendríamos que hacer primero la correspondencia con el sistema decimal, luego hacer la suma y finalmente transformar el resultado a números romanos. Comprueba si el resultado es MDCLVI.

      Para resolver este problema se utiliza el sistema de numeración decimal. Este sistema es posicional, lo que quiere decir que cada dígito tiene un valor en función de la posición que ocupe.

      !

      Recuerda

      El sistema de numeración decimal utiliza 10 dígitos:

      {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}


      La tabla de posiciones es la siguiente:

      Tabla de posiciones
      ... unidades
      de millón
      centenas
      de millar
      decenas
      de millar
      unidades
      de millar
      centenas decenas unidades
      ... UM Cm Dm Um C D U
      ... 1 000 000 100 000 10 000 1 000 100 10 1

      Teniendo en cuenta el valor de sus diferentes cifras, cada número natural tiene una  descomposición polinómica que se realiza como indicamos en los siguientes ejemplos:

      EJEMPLOS

      • 1 324 = 1 ⋅ 1 000 + 3 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 4 = 1 000 + 300 + 20 + 4

      1 unidad de millar + 3 centenas + 2 decenas + 4 unidades

      • 2 423 = 2 ⋅ 1 000 + 4 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 3 = 2 000 + 400 + 20 + 3

      2 unidades de millar + 4 centenas + 2 decenas + 3 unidades

      En el último ejemplo tenemos dos cifras 2; en la primera posición por la izquierda vale 2 000, mientras que en la posición tercera por la izquierda tiene un valor de 20. Vemos que el mismo dígito tiene un valor distinto dependiendo de la posición que ocupa.

      Ejercicios y actividades

      1. Escribe la descomposición polinómica de los siguientes números:

      a) 869   b) 12 509   c) 20 054   d) 108 650   e) 43 567

      1. Escribe qué número se corresponde con las siguientes descomposiciones polinómicas:

      a) 7 ⋅ 10 000 + 3 ⋅ 100 + 8                                               c) 9 ⋅ 1 000 + 4 ⋅ 10 + 5
      b) 4 ⋅ 100 000 + 2 ⋅ 1 000 + 1                                         d) 6 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 8

      1. Escribe con letras los siguientes números:

      a) 512   b) 68 012   c) 5 432 902   d) 86 000 000 000

      1. Escribe con cifras los siguientes números:

      a) Cuatrocientos cincuenta y cuatro mil trescientos cinco

      b) Siete millones setenta mil cuatrocientos cincuenta y tres

      1. Números naturales
      Unidad 1. Números naturales
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      P

      3 Operaciones con números naturales. Propiedades

      3.1. Suma

      Si tengo un cesto con 14 manzanas y otro cesto con 23 manzanas, al sumar los dos cestos tendré en total 37 manzanas.

      14 + 23 = 37

      Se utiliza la suma de números naturales cuando queremos añadir dos o más cantidades.

      Propiedad conmutativa de la suma

      Si cambio el orden de los sumandos, la suma no varía.

      a + b = b + a

      3.2. Resta

      Si en el cesto en que tenía 23 manzanas hay 12 con gusano, ¿cuántas manzanas sanas me quedan?

      23 – 12 = 11 manzanas sanas

      Se utiliza la resta de números naturales cuando a una cantidad le queremos sustraer otra cantidad.

      3.3. Operaciones con sumas y restas

      Si en la misma operación tenemos sumas y restas, las operaciones se hacen de izquierda a derecha.

      EJEMPLOS

      • 4 + 5 – 3 + 2 – 4 = 9 – 3 + 2 – 4 = 6 + 2 – 4 = 8 – 4 = 4
      • 6 – 3 + 4 – 3 – 4 = 3 + 4 – 3 – 4 = 7 – 3 – 4 = 4 – 4 = 0
      • 7 + 8 – 6 – 3 + 2 = 15 – 6 – 3 + 2 = 9 – 3 + 2 = 6 + 2 = 8

      Ejercicios y actividades 

      1. Realiza las siguientes sumas:

      a) 12 + 3 + 2 + 15

      b) 7 + 2 + 17 + 13 + 9

      c) 9 + 5 + 5 + 2

      d) 6 + 2 + 13 + 4

      e) 9 + 14 + 12 + 7 + 13

      f) 11 + 2 + 125 + 46


      1. Realiza las siguientes restas:

      a) 24 – 12

      b) 34 – 21

      c) 78 – 28

      d) 46 – 22

      e) 18 – 14

      1. ¿Se cumple la propiedad conmutativa para la resta de números naturales? Pon un ejemplo para justificarlo.

      1. Realiza las siguientes operaciones:

      a) 14 + 3 – 15            b) 19 – 12 + 4 – 5             c) 13 – 1 + 2 + 14 – 9

      1. Un globo se encuentra a 200 m de altitud. Si desciende 50 m, luego asciende 100 m y vuelve a descender 75 m, ¿a qué altitud se encuentra después?

      3.4. Multiplicación

      Antes de resolver un ejercicio lee atentamente el enunciado para saber exactamente lo que se pide.

      En una caja caben 15 libros. Si tengo 5 cajas, ¿cuántos libros tengo?

      Tenemos dos alternativas:

      • Sumar el contenido de todas las cajas:

      15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 75 libros

      • Utilizar la multiplicación. La suma anterior es equivalente a multiplicar los libros que caben en cada caja por el número total de cajas:

      15 ⋅ 5 = 75

      Propiedad conmutativa de la multiplicación

      Si cambio el orden de los factores, el resultado no varía.

      a ⋅ b = b ⋅ a

      3.5. División

      Queremos empaquetar 30 libros en cajas de 6 libros cada una.

      En este caso, utilizaremos la división para repartir los 30 libros en varias cajas iguales para obtener el número de cajas que necesitamos.

      En nuestro ejemplo no sobra ningún libro; por tanto, tenemos lo que llamamos una división exacta.

      También podría ocurrir que en vez de tener 30 libros tuviéramos 32. Tendríamos que utilizar también 5 cajas, pero sobrarían 2 libros (resto). En este caso hablaríamos de división entera.

      Propiedad fundamental de la división entera

      En una división entera se cumple la siguiente igualdad:

      Dividendo = divisor ⋅ cociente + resto, con resto < divisor

      !

      Propiedad fundamental de la división entera

      Si la división es exacta:

      D = d ⋅ c

         

      Ejercicios y actividades

      1. Realiza las siguientes operaciones:

      a) 12 ⋅ 7      c) 7 ⋅ 36   e) 14 ⋅ 23   g) 138 : 23   i) 96 : 12   k) 140 : 10

      b) 103 ⋅ 8   d) 13 ⋅ 8   f) 18 ⋅ 6      h) 126 : 7      j) 135 : 9   l) 56 : 8

      1. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones y comprueba que se cumple la propiedad fundamental de la división entera:

      a) 105 : 23   b) 59 : 16   c) 197 : 37   d) 208 : 12

      1. ¿Se cumple la propiedad conmutativa para la división de números naturales? Pon un ejemplo para justificarlo.

      1. En cada paquete de cromos de la liga vienen seis cromos. ¿Cuántos cromos tendré si compro 12 paquetes?

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      P

      4 Jerarquía de operaciones

      Juan tiene cajas de distintos tamaños: 5 cajas con 12 libros cada una, 6 cajas con 8 libros cada una y 13 cajas con 5 libros cada una. ¿Cuántos libros tiene en total?

      Primer tipo de caja → 5 ⋅ 12 = 60 libros.

      Segundo tipo de caja → 6 ⋅ 8 = 48 libros.

      Tercer tipo de caja → 13 ⋅ 5 = 65 libros.

      En total tiene 60 + 48 + 65 = 173 libros.

      Si lo ponemos en una única operación, esta sería la siguiente:

      5 ⋅ 12 + 6 ⋅ 8 + 13 ⋅ 5 = 60 + 48 + 65 = 173

      Si nos fijamos, hemos realizado primero los productos y luego las sumas.

      La regla general de la jerarquía de operaciones es la siguiente:

      1. Se realizan los productos y las divisiones.

      2. Si hay varios productos y divisiones encadenados, estos se operan en orden de izquierda a derecha.

      3. Se realizan las sumas y las restas.

      4. Si existen varias sumas o restas encadenadas, estas se operan en orden de izquierda a derecha.

      EJEMPLOS

      • 6 ⋅ 4 – 8 : 2 : 2 + 3 ⋅ 2 ⋅ 5 = 24 – 4 : 2 + 6 ⋅ 5 = 24 – 2 + 30 = 22 + 30 = 52
      • 27 : 3 + 2 ⋅ 5 ⋅ 2 – 3 ⋅ 4 = 9 + 10 ⋅ 2 – 12 = 9 + 20 – 12 = 29 – 12 = 17
      • 5 ⋅ 6 : 3 + 9 ⋅ 3 – 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 30 : 3 + 27 – 8 ⋅ 2 = 10 + 27 – 16 = 37 – 16 = 21
      • 4 ⋅ 5 – 9 : 3 : 3 + 4 ⋅ 3 – 3 = 20 – 3 : 3 + 12 – 3 = 20 – 1 + 12 – 3 = 9 + 12 – 3 = 31 – 3 = 28

      Ejercicios y actividades

      1. Realiza las siguientes operaciones combinadas:

      a) 12 ⋅ 2 – 14 : 7 + 3 ⋅ 6            c) 9 ⋅ 5 + 5 ⋅ 8 – 7 ⋅ 7 + 2 ⋅ 6

      b) 19 – 4 ⋅ 3 + 9 : 3 + 11 ⋅ 3     d) 54 – 15 ⋅ 3 + 9 ⋅ 3 – 18

      1. Realiza las siguientes operaciones:

      a) 45 – 2 ⋅ 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2 : 6

      b) 34 ⋅ 2 – 2 ⋅ 5 + 4 ⋅ 6 – 7 ⋅ 2 + 25 ⋅ 4

      1. Antonio va a las rebajas y compra dos camisetas a 10 euros cada una; un par de zapatillas a 25 euros; y dos pantalones a 30 euros cada uno. Si tiene un bono de descuento de 2 euros por cada artículo que compra, ¿cuánto deberá pagar en total? Resuélvelo mediante una única operación combinada.

      1. Números naturales
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      P

      5 Uso de paréntesis

      Marta y Daniel tienen 36 y 60 huevos respectivamente. ¿Cuántas docenas tienen entre los dos?

      Para resolver este problema, tenemos dos alternativas:

      • Saber cuántas docenas tiene cada uno y sumarlas:

        Marta → 36 : 12 = 3 Daniel → 60 : 12 = 5 Total → 8 docenas

        Como vimos en el apartado anterior, en una única operación sería:

       36 : 12 + 60 : 12 = 3 + 5 = 8 docenas

      • Saber cuántos huevos tienen entre los dos y luego dividir para calcular el número de docenas:

        Total de huevos → 36 + 60 = 96 Total de docenas → 96 : 12 = 8

        Con una sola operación se escribiría de la siguiente forma:

       (36 + 60) : 12

      Y se resolvería de la siguiente manera:

       (36 + 60) : 12 = 96 : 12 = 8 docenas

      Podemos observar que con la segunda alternativa, utilizando paréntesis, se realizan menos operaciones.

      Cuando en una operación combinada aparecen paréntesis, lo primero que debemos resolver son las operaciones que se encuentran en su interior.

       

      La jerarquía que utilizamos dentro de los paréntesis es la misma que vimos en el apartado anterior.

      EJEMPLOS

      • 6 ⋅ (18 – 8) – (2 + 3) ⋅ 5 = 6 ⋅ 10 – 5 ⋅ 5 = 60 – 25 = 35
      • 72 : (2 + 8 : 2) + 8 ⋅ 2 = 72 : (2 + 4) + 16 = 72 : 6 + 16 = 12 + 16 = 28
      • 18 ⋅ (24 : 6 – 2 ⋅ 2 + 3 – 2 + 7 ⋅ 2) = 18 ⋅ (4 – 4 + 3 – 2 + 14) = 18 ⋅ 15 = 270
      • 6 ⋅ (5 – 2 ⋅ 2) + 4 ⋅ (12 : 3 – 3 + 2 ⋅ 7 ⋅ 2) = 6 ⋅ (5 – 4) + 4 ⋅ (4 – 3 + 14 ⋅ 2) = 6 ⋅ (1) + 4 ⋅ (4 – 3 + 28) = 6 + 4 ⋅ (1 + 28) = 6 + 4 ⋅ (29) = 6 + 116 = 122

      Ejercicios y actividades

      1. Opera:

      a) 12 – (8 + 14 : 7 – 6)   b) 14 – 3 ⋅ (3 + 5 – 4)    c) 9 ⋅ (15 – 7) – 7 ⋅ 6   d) 54 – 5 ⋅ (8 – 3 + 5)

      1. Calcula:

      a) (18 – 2 ⋅ 4) : 5 + 40 : (2 ⋅ 2 + 6)        b) 4 ⋅ (8 + 4 – 2) – 3 ⋅ (15 – 7)

      1. Realiza las siguientes operaciones y compara el resultado.

      a) abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos columna celda 45 menos 12 más 9 fin celda columna celda 45 menos abrir paréntesis 12 más 9 cerrar paréntesis fin celda fin tabla cerrar

      b) abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos columna celda 30 menos 15 más 2 fin celda columna celda 30 menos abrir paréntesis 15 más 2 cerrar paréntesis fin celda fin tabla cerrar

      c) abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos columna celda 12 menos 2 por 5 fin celda columna celda abrir paréntesis 12 menos 2 cerrar paréntesis por 5 fin celda fin tabla cerrar

      1. Plantea mediante una única operación y resuelve: Jorge está ahorrando para comprar una bicicleta que cuesta 258 euros. Si tiene ahorrados 180 y cada semana ahorra 6 euros, ¿cuántas semanas tardará en ahorrar para comprarla?

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      P

      6 Propiedades con paréntesis

      Juan, Mario y Luis tienen 12, 13 y 17 años respectivamente. ¿Cuánto suman las edades de estos tres amigos?

      12 + 13 + 17 = (12 + 13) + 17 = 25 + 17 = 42

      o

      12 + 13 + 17 = 12 + (13 + 17) = 12 + 30 = 42

      Es decir,

      12 + 13 + 17 = (12 + 13) + 17 = 12 + (13 + 17) = 42
       

      Propiedad asociativa de la suma

      Cuando realizamos una suma con varios sumandos, el resultado es independiente del modo en que se reúnan las sumas.

      (a + b) + c = a + (b + c)

       

      Tengo 4 cajas con 15 paquetes de 50 folios cada uno. ¿Cuántos folios tengo?

      4 ⋅ 15 ⋅ 50 = (4 ⋅ 15) ⋅ 50 = 60 ⋅ 50 = 3 000

      o

      4 ⋅ 15 ⋅ 50 = 4 ⋅ (15 ⋅ 50) = 4 ⋅ 750 = 3 000

      Es decir,

      4 ⋅ 15 ⋅ 50 = (4 ⋅ 15) ⋅ 50 = 4 ⋅ (15 ⋅ 50) = 3 000

      Propiedad asociativa del producto

      Cuando realizamos un producto con varios factores, el resultado es independiente del modo en que se reúnan los productos.

      (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)

      EJEMPLO

      • (3 + 5) ⋅ 7 = 3 ⋅ 7 + 5 ⋅ 7 = 21 + 35 = 56
      • 6 ⋅ (4 + 5) = 6 ⋅ 4 + 6 ⋅ 5 = 24 + 30 = 54
      • (7 – 4) ⋅ 9 = 7 ⋅ 9 – 4 ⋅ 9 = 63 – 36 = 27
      • 4 ⋅ (9 – 5) = 4 ⋅ 9 – 4 ⋅ 5 = 36 – 20 = 16
      • 5 ⋅ (12 + 21 – 13) = 5 ⋅ 12 + 5 ⋅ 21 – 5 ⋅ 13 = 60 + 105 – 65 = 100

      Ejercicios y actividades

      1. Comprueba que se cumple la propiedad asociativa en las siguientes sumas:

      a) 12 + (8 + 4) = (12 + 8) + 4      b) 22 + (15 + 18) = (22 + 15) + 18

      1. Comprueba que se cumple la propiedad asociativa en los siguientes productos:

      a) (9 ⋅ 3) ⋅ 4 = 9 ⋅ (3 ⋅ 4)          b) (8 ⋅ 2) ⋅ 3 = 8 ⋅ (2 ⋅ 3)

      1. En un parque hay 18 olmos, 14 castaños de indias y 22 pinos. ¿Cuántos árboles hay en total? Resuélvelo de dos formas distintas aplicando la propiedad asociativa.

      1. En una caja de folios hay cinco paquetes de 500 folios cada uno. ¿Cuántos folios compraremos en tres cajas? Resuélvelo de dos formas distintas aplicando la propiedad asociativa.

      6.1. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma

      Andrea y Luis tienen 3 y 4 docenas de huevos respectivamente. ¿Cuántos huevos tienen entre los dos?

      (3 + 4) ⋅ 12

      Tenemos dos formas de resolverlo:

      • Primero calculamos las docenas que tienen entre los dos y luego multiplicamos por 12 para saber el número de huevos:

      (3 + 4) ⋅ 12 = 7 ⋅ 12 = 84

      • Calculamos cuántos huevos tiene cada uno multiplicando el número de docenas por 12 y luego sumamos los resultados:

      (3 + 4) ⋅ 12 = 3 ⋅ 12 + 4 ⋅ 12 = 36 + 48 = 84

      Si nos fijamos, hemos resuelto el apartado primero aplicando la regla de los paréntesis. En el segundo, sin embargo, hemos aplicado la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.

      Propiedad distributiva del producto respecto de la suma

      El producto de un número por la suma (o resta) de varios números es igual a la suma (o resta) de los productos de ese número por cada sumando.

      a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c ó (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a

      a ⋅ (b – c) = a ⋅ b – a ⋅ c ó (b – c) ⋅ a = b ⋅ a – c ⋅ a

      De manera más general:

      a ⋅ (b + c – d) = a ⋅ b + a ⋅ c – a ⋅ d

      EJEMPLOS

      • (3 + 5) ⋅ 7 = 3 ⋅ 7 + 5 ⋅ 7 = 21 + 35 = 56
      • (7 – 4) ⋅ 9 = 7 ⋅ 9 – 4 ⋅ 9 = 63 – 36 = 27
      • 5 ⋅ (12 + 21 – 13) = 5 ⋅ 12 + 5 ⋅ 21 – 5 ⋅ 13 = 60 + 105 – 65 = 100

      !

      Galileo Galilei dijo...

      «Las matemáticas son el alfabeto con el que Dios ha escrito el Universo».

      Galileo Galilei fue un astrónomo, físico, matemático y filósofo que nació en Italia en 1554 y murió en 1642.

      Con un telescopio, Galileo descubrió cuatro lunas de Júpiter, los cráteres de la Luna y las manchas solares, con lo que demostró que los astros no eran tan perfectos como se pensaba hasta entonces. Además, se dio cuenta de que Venus era un planeta del sistema solar.

      Pero su mayor y más comprometido hallazgo fue descubrir que la Tierra gira alrededor del Sol y no al contrario, como se pensaba hasta entonces.

       

      Ejercicios y actividades

      1. Comprueba que se cumple la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y resta operando de dos formas distintas:

      a) 14 ⋅ (3 + 7)          c) 10 ⋅ (22 – 15 + 8)

      b) (8 – 2) ⋅ 5             d) (12 + 3 – 5) ⋅ 5

      1. Aplica la propiedad distributiva de la división respecto de la suma (y la resta) en las siguientes operaciones. Fíjate primero en el ejemplo:

      (49 + 35) : 7 = 49 : 7 + 35 : 7 = 7 + 5 = 12

      (49 + 25) : 7 = 84 : 7 = 12

      a) (46 – 24) : 2      b) (54 + 36) : 6      c) (81 – 27) : 9

      1. Resuelve de dos formas distintas mediante la propiedad distributiva: Clara compró seis pendrives a 5 euros cada uno. Begoña ha comprado cuatro iguales. ¿Cuánto tendrán que pagar entre las dos?

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      1. Números naturales
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      Opera con Excel    

      Excel nos ayuda a resolver operaciones con números naturales de manera muy sencilla. Vamos a resolver la siguiente operación: 6 – (9 – 4) ⋅ (7 – 6) + 3 ⋅ 5 + 9 : 3.

      Para multiplicar en Excel, debemos usar el símbolo * en vez del símbolo ⋅. Y, para dividir, usaremos el símbolo / en vez de :. Por tanto, la operación quedaría:

      6 – (9 – 4) * (7 – 6) + 3 * 5 + 9 / 3

      Pasos:

      1. Situar el cursor en una celda cualquiera, por ejemplo, la A1.

      2. Escribir en la barra de funciones la expresión:

      = 6 – (9 – 4) * (7 – 6) + 3 * 5 + 9 / 3

      No olvides el símbolo =.

      3. Pulsar la tecla INTRO. Aparece el resultado, en nuestro ejemplo, 19. Compruébalo.

       

       

      Ejercicios y actividades

       

      1. Realiza las siguientes operaciones usando Microsoft Excel:

      a) 4 ⋅ 5 – 7 + 8 : 2

      b) (25 – 10) : 3 + 6 ⋅ (8 + 4)

      c) 12 – 6 ⋅ (4 – 2 ) + 23 – 15 : (5 – 2) + 12

      d) Un pescadero pagó ayer 375 € por 25 kg de lenguados. ¿Cuántos kg ha comprado hoy si ha pagado 450 €?​

       

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      1. Números naturales
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      1. Pasa al sistema de numeración romano o decimal las siguientes cantidades:

      a) 46               b) CCLXXXVIII

      Solución

      a) 46 = XLVI

           40 = 50 – 10 = XL

           6 = 5 + 1 = VI

           46 = 40 + 6 = XLVI

      b) CCLXXXVIII = 288

           CC = 100 + 100 = 200

           LXXX = 50 + 10 + 10 + 10 = 80

           VIII = 5 + 1 + 1 + 1 = 8

           CCLXXXVIII = CC + LXXX + VIII = 200 + 80 + 8 = 288

      1. Escribe la descomposición polinómica de los siguientes números:

      a) 498               b) 3 687

      Solución

      a) 498 = 4 ⋅ 100 + 9 ⋅ 10 + 8

           4 centenas + 9 decenas + 8 unidades

      b) 3 687 = 3 ⋅ 1 000 + 6 ⋅ 100 + 8 ⋅ 10 + 7

           3 u. de millar + 6 centenas + 8 decenas + 7 unidades

      1. Opera:

      a) 16 – 12 + 86 – 13

      b) 34 –  13 + 5 + 6 – 15

      c) 9 – 24 : 6 + 5 ⋅ 8 – 25 : 5

      Solución

      a) 16 – 12 + 86 – 13 = 4 + 86 – 13 = 90 – 13 = 77

      b) 34 – 13 + 5 + 6 – 15 = 21 + 5 + 6 – 15 = 26 + 6 – 15 = 32 – 15 = 17

      c) 9 – 24 : 6 + 5 ⋅ 8 – 25 : 5 = 9 – 4 + 40 – 5 = 5 + 40 – 5 = 45 – 5 = 40

      1. María y Pedro cenan en una pizzería. María come 2 porciones a 3 € la porción y Pedro come 3 porciones a 4 € cada una. Además, María bebe un refresco de limón que le cuesta 1 € y Pedro una botella de agua que cuesta 1 €. ¿Cuánto le costará la cena a María? ¿Y a Pedro? ¿Cuánto gastarán entre los dos?

      Solución

      María → 2 ⋅ 3 + 1 = 6 + 1 = 7 €

      Pedro → 3 ⋅ 4 + 1 = 12 + 1 = 13 €

      Entre los dos gastarán → 7 + 13 = 20 €

      1. Aplica la propiedad fundamental de la división entera a la división 135 : 23.

      Solución

      D = 135    d = 23    c = 5    r = 20

      D = d ⋅ c + r → 135 = 23 ⋅ 5 + 20

      1. Opera:

      a) 5 ⋅ (6 – 3 + 4) – 9 : (6 – 3)

      b) 9 ⋅ (5 – 3 – 1) ⋅ (12 – 5)

      c) [12 ⋅ 8 – (7 + 5) ⋅ 6] – (9 – 5) : 4 + 3

      Solución

      a) 5 ⋅ (6 – 3 + 4) – 9 : (6 – 3) = 5 ⋅ (3 + 4) – 9 : 3 = 5 ⋅ 7 – 3 = 35 – 3 = 32

      b) 9 ⋅ (5 – 3 – 1) ⋅ (12 – 5) = 9 ⋅ (2 – 1) ⋅ 7 = 9 ⋅ 1 ⋅ 7 = 9 ⋅ 7 = 63

      c) [12 ⋅ 8 – (7 + 5) ⋅ 6] – (9 – 5) : 4 + 3 =  [96 – 12 ⋅ 6] – 4 : 4 + 3 =  [96 – 72] – 1 + 3 = 24 – 1 + 3 = 23 + 3 = 26

      1. Resuelve aplicando la propiedad distributiva:

      a) 3 ⋅ (8 + 5 + 2)             b) 9 ⋅ (12 – 4 + 5)

      Solución

      a) 3 ⋅ (8 + 5 + 2) = 3 ⋅ 8 + 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2 = 24 + 15 + 6  = 39 + 6 = 45

      b) 9 ⋅ (12 – 4 + 5) = 9 ⋅ 12 – 9 ⋅ 4 + 9 ⋅ 5 = 108 – 36 + 45 = 72 + 45 = 117

      1. A Inés la manda su madre a la frutería con 34 €. Allí compra 2 kg de peras a 2 €/kg, 3 kg de tomates a 3 €/kg, 5 kg de manzanas a 2 €/kg y 4 kg de patatas a 1 €/kg. ¿Cuántos kg de fresas a 3 €/kg podrá comprar? ¿Cuánto dinero le sobrará?

      Solución

      Inés ha gastado:

      2 kg de peras ⋅ 2 €/kg = 4 €

      3 kg de tomates ⋅ 3 €/kg = 9 €

      5 kg de manzanas ⋅ 2 €/kg = 10 €

      4 kg de patatas ⋅ 1 €/kg = 4 €

      Total = 4 + 9 + 10 + 4 = 27 €

      Le quedan 34 € – 27 € = 7 € para comprar fresas.

      Dividimos 7 € entre 3 €/kg y miramos el cociente y el resto.

      Podremos comprar 2 kg de fresas y sobrará 1 €.

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      EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN
      1. Números naturales
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      EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN

      P

      Números romanos

      1. La inscripción corresponde a distintos lugares en los que aparecen números romanos. ¿A qué año se refieren?

      a) MDCCLXXVIII-Puerta de Alcalá, Madrid

      b) MCMLXXIV-Loba capitolina en Segovia (Roma a Segovia en el bimilenario de su acueducto)

      c) MDCCLXXVI-Fecha de la Independencia de los EE. UU. en el billete de 1$.

      1. Escribe con números romanos el año y el siglo en el que ocurrieron los siguientes hechos históricos:

      a) Erupción del Vesubio el 24 de agosto del 79 que sepulta las ciudades de Pompeya y Herculano

      b) Caída del Imperio romano de Occidente en el año 476

      c) Toma de Granada por los Reyes Católicos en 1492

      d) Pascal diseñó y construyó la primera calculadora en 1642

      e) Caída del muro de Berlín en 1989

      Sistema de numeración decimal

      1. Con las cifras 2, 3 y 7 forma todos los números que sean posibles y ordénalos de menor a mayor.

      1. A continuación se indica la población de algunos países. Escríbela con letras:

      a) China: 1 360 763 000

      b) España: 47 129 783

      c) San Marino: 31 247

      d) Islandia: 320 137

      1. La población mundial es aproximadamente de siete millones cuarenta y seis mil personas. Escribe esa cifra con números.

      1. Observa la disposición de los siguientes números en una tabla y responde a las preguntas:
      UM CM DM UM C D U
      4 7 4 8 5 2 0
        2 0 3 5 4 4
          3 0 7 6 5

      a) ¿Cuántas unidades hay en 852 decenas?

      b) ¿Cuántas centenas hay en 3 544 unidades?

      c) ¿Cuántas decenas de millar hay en 4 748 520?

      1. Realiza la descomposición polinómica de los siguientes números:

      a) 3 017    b) 103 030    c) 1 234

      Operaciones con números naturales. Propiedades

      1. Estima mentalmente el resultado aproximado de las siguientes operaciones. Comprueba a continuación que lo has hecho correctamente efectuando la operación:

      a) 235 + 55 + 92

      b) 957 – 447 – 20

      c) 703 ⋅ 198

      d) 45 738 : 506

      e) 23 564 + 2 485 + 9 233

      f) 95 789 – 45 398 – 25 310

      1. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones e indica, en cada caso, si la división es exacta o entera:

      a) 756 : 27

      b) 18 333 : 315

      1. Recuerda la disposición de los elementos en una división y la propiedad fundamental que cumplen

      Aplícala para completar la siguiente tabla:

      D d c r
      42  5  8

      35 21 8
      97

      10 7

      Jerarquía de operaciones. Uso del paréntesis

      1. Realiza las siguientes operaciones:

      a) 7 ⋅ 8 – 3 ⋅ 4 – 2 ⋅ 5 + 4 ⋅ 8

      b) 50 ⋅ 6 – 3 ⋅ 5 – 5 ⋅ 4

      c) 9 ⋅ 7 V 4 ⋅ 12 – 3 ⋅ 2 + 36

      d) 60 – 30 ⋅ 2 + 15 ⋅ 3

      e) 97 – 4 ⋅ 21 – 3 ⋅ 4

      f) 14 – 12 : 4 + 2 ⋅ 8 : 4 – 12 ⋅ 5 : 6

      1. Calcula y observa la diferencia:


      a paréntesis derecho espacio abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos columna celda 8 más 42 dos puntos 2 fin celda columna celda abrir paréntesis 8 más 42 cerrar paréntesis dos puntos 2 fin celda fin tabla cerrar

      b paréntesis derecho espacio abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos columna celda 24 dos puntos 2 más 4 fin celda columna celda abrir paréntesis 24 dos puntos 2 cerrar paréntesis más 4 fin celda fin tabla cerrar

      c paréntesis derecho espacio fino abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos columna celda 14 por 5 más 4 fin celda columna celda 14 por abrir paréntesis 5 más 4 cerrar paréntesis fin celda fin tabla cerrar

      1. Calcula directamente y aplicando la propiedad distributiva:

      a) 6 ⋅ (35 – 25 – 5)    b) (18 – 9 + 7) ⋅ 3

      1. Aplica la propiedad distributiva para escribir estas operaciones de otra manera:

      a) 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 9

      b) 4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 7

      c) 8 ⋅ 5 – 7 ⋅ 5

      d) 6 ⋅ 7 – 6 ⋅ 3

      1. Opera:

      a) 16 – 4 ⋅ 3 + (4 + 3) ⋅ 9 – 12 : (26 – 4 ⋅ 5)

      b) 4 + (6 + 2) ⋅ 7 – 9 ⋅ (10 – 2) : 4 – 7 ⋅ 6

      c) (15 + 13 – 4) ⋅ 2 – (9 – 6 + 5) ⋅ (9 – 5)

      d) 6 ⋅ (12 – 8 + 3) – 5 ⋅ (8 – 7 + 5) : (14 – 9)

      1. Calcula:

      a) (2 + 6 – 3) ⋅ 5 + (4 – 3 + 8) ⋅ 9 – 32 : 8

      b) 24 + (5 + 3) ⋅ 2 – 5 ⋅ (13 – 5) : 4 – 4 ⋅ 5

      c) (5 – 2 + 12) ⋅ (17 – 8) – (14 – 4 – 7) ⋅ 10

      d) 56 + 4 ⋅ (9 + 9 – 3) –  6 ⋅ (6 – 2 ⋅ 2) : 6

      1. Calcula (presta atención a los corchetes):

      a) [19 – (24 – 2 · 9) 18] – (8 – 6) · 9 + 32 : [18 – 7 · (3 – 1)]

      b) 5 · [39 – 5 · (14 – 8)] – 3 · [20 – 5 · (10 – 3 · 2]

      c) 23 – 4 · [14 – 2 · (3 + 4)] – (14 · 6 – 4) : (7 + 3)

      d) 246 : [4 · (8 – 3 + 5) + 9 · (9 – 4 +5) : 2 – 6 · (8 – 3 · 2) : (12 – 8)]

      Problemas

      1. Averigua qué tres números naturales consecutivos suman 78.

      1. Al abrir un libro al azar, la suma de los números de las dos páginas da 565. ¿Por qué páginas he abierto el libro?

      1. La suma de los tres números consecutivos de los portales de una calle es 78. ¿De qué tres números se trata?

      1. Las edades de Jaime, Antonio y Andrea suman 131. Si Jaime tiene 41 años y los otros dos son mellizos. ¿Cuántos años tienen Andrea y Antonio?

      1. Los alumnos de 1.º de ESO visitaron una exposición de matemáticas. En total pagaron 123 € y cada entrada salió a 3 €. ¿Cuántos alumnos asistieron?

      1. La distancia de Madrid a Barcelona es de 505 km. Si hemos realizado el viaje en 5 horas, ¿qué velocidad media hemos llevado?

      1. Calcula el número de ventanas que tendrá un colegio de 7 plantas y con tres ventanas por planta.

      1. Clara compró seis pendrives por 42 euros. Si Begoña ha comprado cuatro iguales, ¿cuánto tendrá que pagar?

      1. Ismael ha cambiado dos cromos de la liga de fútbol por tres de superhéroes. ¿Cuántos cromos de superhéroes le darán por 14 cromos de fútbol?

      1. Para realizar el siguiente proyecto de curso, se va a dividir a los 77 alumnos del instituto de 1.º de ESO en grupos. Se pretende que cada grupo esté formado por 6 estudiantes. ¿Cuántos grupos de 6 se formarán? ¿Cuántos alumnos quedarán en el único grupo con menos de 6 alumnos?

      1. Se va a realizar un campeonato de baloncesto en el instituto. Cada equipo lo formarán siete chicos y chicas (cinco jugando y dos suplentes). Si se han apuntado 53 alumnos, ¿cuántos equipos podremos formar? ¿A cuántos alumnos tendremos que convencer para que se forme un equipo más?

      1. Un manantial de agua mineral mana cada día 25 000 litros de agua. Si se embotellan en garrafas de 8 litros, ¿cuántas se producen cada día?

      1. En un invernadero tienen 14 cajas con 20 rosas cada una. Si reciben un pedido 22 ramos de una docena de rosas cada uno, ¿podrán atender el pedido? En caso afirmativo, ¿cuántas rosas les sobrarán? En caso negativo, ¿cuántas rosas les faltarán?

      1. Alba necesita comprar 10 cuadernos para este curso. Cada uno cuesta 3 € en la papelería, pero si se compran cuatro juntos, cuestan 9 € los cuatro. ¿Cuánto gastará Alba en los cuadernos si aprovecha la oferta?

      1. Juan va a invitar a sus amigos al cine por su cumpleaños. En total irán 14 compañeros. Si cada entrada individual cuesta 6 € y hay disponibles bonos de 5 entradas por 27 €, ¿cuánto tendrá que pagar si coge la opción que le resulta más barata?

      1. Johann Carl Friedrich Gauss es uno de los matemáticos más importantes de la historia. Murió en 1855 a los 78 años. Marie-Sophie Germain es una matemática de su misma época que tuvo que trabajar de forma independiente debido al prejuicio que existía en su época hacia las mujeres. Nació en 1776 y murió a los 55 años. Calcula el año en el que nació Gauss y en el que murió Marie-Sophie.

      1. Una finca rectangular mide 42 metros de largo por 38 metros de ancho. Se desea cercar con una valla que se vende en lotes de 50 metros.

      a. ¿Cuántos lotes tendremos que comprar para cercar la finca?

      b. ¿Cuántos metros de valla nos sobrarán?

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      DESAFÍO PISA
      1. Números naturales
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      DESAFÍO PISA

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      Carrera ciclista

      Entre los próximos días 7 y 18 de septiembre se celebrará la vuelta ciclista a la comunidad autónoma. Esta carrera se desarrollará en 13 etapas.

      Características de la prueba

      • 6 etapas llanas
      • 3 etapas de media montaña
      • 2 etapas de alta montaña con llegadas en alto
      • 2 etapas de descanso
      • Se han inscrito 12 equipos ciclistas, cada uno con 9 componentes
      • La carrera recorrerá 1 375 kilómetros en total

      Actividades

      Tras la lectura del texto anterior, realiza las siguientes actividades:

      1. Números naturales
      Unidad 1. Números naturales
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      Actividad 1: ¿Qué cifra ocupa las unidades de millar en la longitud total de la carrera?

      • 1

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      • 4

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      Actividad 2: En cada etapa llana se recorren 125 kilómetros y en las de alta montaña, 90 km. ¿Cuántos kilómetros se recorren en total entre los dos tipos de etapas?

      • 920

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      • 840

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      • 930

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      • 215

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      Actividad 3: Si en todas las etapas, excepto en las de descanso, se recorriera la misma distancia, ¿cuál sería la operación necesaria para calcular la longitud de cada etapa?

       

      • 1 375 : 6 + 3 + 2

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      • 1 375 : (6 + 3 + 2)

      • Correct answer
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      • 1 375 : 13 – 2

      • Correct answer
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      • (6 + 3 + 2) : 1 375

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      Actividad 4: ¿Cuántos ciclistas participarán en la carrera?

       

      • 12

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      • 108

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      • 9

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      • 120

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      Actividad 5: La rueda de una bicicleta da 108 000 vueltas en una etapa. En cada vuelta completa la bici recorre 125 cm de carrera. ¿Qué distancia, en kilómetros, tiene la etapa?

      • 125

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      • 135

      • Correct answer
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      • 108

      • Correct answer
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      • 110

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      t15-multimedia

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      Actividad 6: La siguiente tabla muestra las altitudes en algunos puntos kilométricos de una etapa de montaña con llegada en alto.

        Punto kilométrico Altitud en metros
      Salida 0 350
      Alto de Antilla 13 560

      Bajín

      21 825
      Alto de la Bagua 27 1 389
      Puerto de Mantia 44 1 650
      La Cañada 59 1 180
      Mandilla 67 1 250
      Grandia 71 1 290
      Merchán 102 1 510
      Meta  
      Puerto de la Aguja 135 2 030

      ¿Cuál es la diferencia de altitudes que salva esta etapa?

      • 1 680 m

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      • 1 010 m

      • Correct answer
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      • 135 m

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      • 1 960 m

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      EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN
      MI PROYECTO
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      MI PROYECTO

      P

      La gestión del stock de un almacén

      Paso 1: Cálculo de la cantidad total de materia prima y el coste de almacenamiento

      En esta unidad calcularemos el total de materia prima almacenada y cuanto nos va a costar almacenar toda esta materia prima. Para ello usaremos la tabla que aparece a continuación y realizaremos las operaciones oportunas con ayuda de la hoja de cálculo Microsoft Excel.

      Para ello:

      1. Analiza la siguiente tabla e identifica las materias primas y sus costes.

      Materia prima Número de cajas Unidades por caja Coste unitario de cada unidad (€) Coste unitario de almacena-miento (€)
      M1 15 6 250 2
      M2 20 4 320 3
      M3 25 4 125 1
      M4 10 8 600 2
      M5 60 2 350 5
      M6 15 6 650 5

      2. ¿Qué cantidad total hay de cada materia prima?

      3. ¿Cuál es el número total de unidades si tenemos en cuenta las 6 materias primas?

      4. Calcula el coste total de cada materia prima.

      5. Calcula el coste total teniendo en cuenta todas las materias primas.

      6. ¿Cuál es el coste de almacenamiento de cada materia prima?

      7. ¿Cuál sería el coste total de almacenamiento?

      8. Completa una tabla Excel para calcular cada una de las operaciones de los apartados 2 a 7.

      9. Presenta el resultado del coste total mediante una operación combinada.

      10. Presenta el resultado del coste por almacenamiento total mediante una operación combinada.

      11. Si el coste final es el coste de compra más el coste de almacenamiento, ¿cómo se calcula el coste final?

      DESAFÍO PISA
      EVALÚATE
      1. Números naturales
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      EVALÚATE

      P

      Autoevaluación

      1. Cómo se escribe 2 794 con signos romanos:

      a) MMDCCXCIV

      b) CMMMDCCXCIV

      c) MMDCCLXXXXIIII

      d) a y c son válidas

      1. ¿Qué número se escribe en signos romanos DXXIV?

      a) 74   

      b) 1 024   

      c) 524   

      d) 574

      1. Cuál es la descomposición polinómica de 62 705:

      a) 6 ⋅ 1 000 + 2 ⋅ 100 + 7 ⋅ 10 + 5

      b) 6 ⋅ 10 000 + 2 ⋅ 100 + 7 ⋅ 10 + 5

      c) 6 ⋅ 10 000 + 2 ⋅ 1 000 + 7 ⋅ 100 + 5

      d) 6 ⋅ 10 000 + 2 ⋅ 1 000 + 7 ⋅ 100 + 5 ⋅ 10

      1. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?

      60 – 50 : 5 + 150 : 3

      a) 52   b) 100    c) 50    d) 12

      1. ¿En cuál de estos apartados se ha aplicado correctamente la propiedad distributiva para realizar la operación 3 ⋅ (9 – 3 + 5)?

      a) = 3 ⋅ (11) = 33

      b) = 3 ⋅ (6 + 5) = 18 + 15 = 33

      c) = 27 – 9 + 15 = 33

      d) = 3 ⋅ 6 – 3 ⋅ 5 = 18 – 3 ⋅ 5 = 15 ⋅ 5 = 75

      1. El ganador de la maratón de Nueva York en 2013 tardó 2 horas, 8 minutos y 24 segundos en los 42,195 km. de recorrido. ¿Cuál fue el tiempo expresado en segundos?

      a) 7 704  b) 42 195  c) 7 680  d) 7 680,4

      1. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?

      40 – 5 ⋅ (4 + 3) – 20 : (6 ⋅ 5 – 25)

      a) 45   b) 1   c) 241   d) 3

      1. ¿Cuáles son el cociente y el resto de esta división 1 485 : 16 ?

      a) C = 13; r = 92

      b) C = 3: r = 93

      c) C = 93; r = 3

      d) C = 92; r = 13

      1. A una actividad de remo nos hemos apuntado 38 compañeros. Si en cada barca caben 4, ¿cuántas barcas necesitaremos? ¿Cuántas irán llenas?

      a) 9 barcas, 9 irán llenas

      b) 10 barcas, 10 irán llenas

      c) 10 barcas, 9 irán llenas

      d) 10 barcas, 8 irán llenas

      1. Un comerciante compra 90 latas de mejillones a 2 euros cada una y las vende en lotes de tres, cada uno por 8 euros. ¿Qué beneficio obtendrá por la venta?

      a) 240 euros

      b) 540 euros

      c) 60 euros

      d) 180 euros

      1. Números naturales
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      P

      Mis progresos

       

      MI PROYECTO
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      9. 9
      10. 10
      11. 11
      12. 12
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