Operaciones con decimales
En muchas situaciones de tu vida cotidiana, te encontrarás en la necesidad de interpretar y manejar números decimales.
A continuación, te hacemos una serie de propuestas para que recuerdes algunos aspectos sobre ellos y sus operaciones:
a) 151,56 + 82,44 =
c) 12,8 + 3,2 – 5,1 =
e) 0,347 · 100 =
g) 34,25 · 0,01 =
i) 14,8 · 0,5 =
k) 14,8 : 0,5 =
b) 123,47 – 12,25 =
d) 25,4 – 15,2 + 5,8 =
f) 3,482 : 100 =
h) 34,25 : 0,01 =
j) 24 · 0,25 =
l) 2,4 : 0,25 =
a) ¿Cuánto le falta a 0,85 para llegar a 1?
b) ¿Cuánto le falta a 3,26 para llegar a 4?
c) ¿Cuánto le falta a 15,21 para llegar a 16?
d) ¿Cuánto le falta a 12,36 para llegar a 12,4?
e) ¿Cuánto le falta a 5,84 para llegar a 5,9?
a) 0,25 · 100 - 1,75 · 10
b) 2 - 0,5 · (6,4 - 2,32)
c) (0,6 - 1,61 : 4,69) · 10
d) 6,35 · 0,3 + 0,25 · (1,7 - 2,4)
e) 1,88 - 1,3 · [0,1 · 3 - 5,25 : (3,41 + 3,59)]
Observa cómo estimamos el resultado de dividir 14,89 entre 1,48:
— Aproximamos las cantidades: 14,89 → 15; 1,48 → 1,5
— Como 15 : 1,5 = 10, el resultado de 14,89 : 1,48 será próximo a 10.
Si ahora realizamos la operación exacta, 14,89 : 1,48 = 10,06081..., vemos que el error cometido en la estimación ha sido menor que una décima.
Ahora inténtalo tú. Estima mentalmente el resultado; después, calcula y compara:
a) 6,974 · 2,01 =
b) 2,975 : 1,02 =
c) (3,978 + 4,0125) · 4,986 =
d) (15,034 - 2,99) · (3,101 + 2,973) =
Problemas con números decimales
Para conseguir 3,60 € , calcula:
a) ¿Cuántas monedas de veinte céntimos (0,20 € ) necesitamos?
b) ¿Cuántas de diez céntimos (0,10 € )?
c) ¿Cuántas de cinco céntimos (0,05 € )?
a) 3,60 : 0,20 = 36 : 2 = 18
Necesitamos 18 monedas de veinte céntimos.
b) 3,60 : 0,10 = 36 : 1 = 36
Necesitamos 36 monedas de diez céntimos.
(También podríamos haber pensado que necesitamos el doble de monedas de diez que de veinte céntimos, 18 · 2 = 36).
c) 3,60 : 0,05 = 360 : 5 = 72
Necesitamos 72 monedas de cinco céntimos (el doble que de monedas de diez céntimos).
R eflexiona
Comprueba que es lo mismo: b) Dividir entre 0,1 que multiplicar por 10. c) Multiplicar por 0,5 que dividir entre 2. d) Multiplicar por 0,1 que dividir entre 10.
¿Cuánto cuesta una caja de manzanas de 10 kilogramos, si por 3,5 kg hemos pagado 4,34 € ?
Coste de un kilo → 4,34 : 3,5 = 1,24 €
Coste de 10 kilos → 1,24 · 10 = 12,40 €
Una caja de 10 kg de manzanas cuesta 12,40 €.
Rosa compró en la frutería 0,645 kg de manzanas a 1,35 € /kg; 1,245 kg de peras a 1,25 € /kg, y 2,25 kg de naranjas a 0,95 € /kg. Sabiendo que llevaba 8,56 € , ¿cuánto dinero le sobró?
Gasto en manzanas → 0,645 · 1,35 = 0,87075 → 0,87 €
Gasto en peras → 1,245 · 1,25 = 1,55625 → 1,56 €
Gasto en naranjas → 2,25 · 0,95 = 2,1375 → 2,14 €
Gasto total: 0,87 + 1,56 + 2,14 = 4,57 €
Dinero que le sobró: 8,56 - 4,75 = 3,99 €
A Rosa le sobraron 3,99 €.
Podríamos haber escrito todas las operaciones anteriores en una misma expresión. Observa cómo:
8,56 - (0,645 · 1,35 + 1,245 · 1,25 + 2,25 · 0,95) =→ 4 €
(El céntimo de diferencia entre los dos resultados se debe a los distintos momentos en que se han hecho los redondeos. En la vida real, el resultado que se tome dependerá de las normas establecidas en el comercio).
T en en cuenta
Debes usar la calculadora de forma racional. Es lógico utilizarla para calcular 3652,28 : 2,789
Tipos de números decimales
En la resolución de problemas y al hacer operaciones te encontrarás con distintos tipos de números decimales. Veamos cuáles son y cómo se llaman en cada caso.
Un decimal exacto es el que tiene un número limitado de cifras decimales.
Un decimal periódico es el que tiene infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente. Si el periodo comienza inmediatamente después de la coma, se llama decimal periódico puro.
Si en un decimal periódico hay una o varias cifras no periódicas entre la coma y el periodo, el número se llama decimal periódico mixto.
Existe otro tipo de números decimales que tienen infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente. Se llaman números irracionales.
Por ejemplo:
Al calcular
El número π es igual a 3,14159265...
N úmeros racionales e irracionales
Expresión aproximada de números y cantidades
Cuando en la vida real usamos los números para transmitir resultados o informaciones, generalmente hacemos redondeos dando solo algunas de sus cifras:
El número π o el valor
π = 3,141592... REDONDEANDO →
REDONDEANDO → = 1,41 o bien = 1,414
3,1416 es más próximo a π que 3,1415. Por eso, cuando la primera cifra que desechamos es 5 o más, redondeamos aumentando en una unidad la última cifra.
Si una persona nos dice que gana 1 300 €, seguramente en su nómina figura una cantidad ligeramente distinta. Por ejemplo, 1 324,56 €.
El sueldo se ha redondeado usando solamente dos cifras significativas. Los ceros solo sirven para completar la expresión.
Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número aproximado. Solo se deben utilizar aquellas cuya exactitud nos conste.
Siendo absolutamente rigurosos, en vez de 1300 € habría que decir 13 cientos de euros, indicando así que solo se ha afinado hasta los “cientos”.
Practica el redondeo de números decimales.
APROXIMACIONES Y ERRORES
Los números sirven, en la práctica, para expresar medidas, y las medidas son, casi siempre, aproximadas. Las cantidades que utilizamos en la vida diaria tienen, generalmente, dos cifras significativas:
El ciprés del jardín mide 23 m .
Con esa información, teniendo en cuenta el redondeo, sabemos que:
22,5 m ≤ altura del ciprés < 23,5 m
Es decir, se está cometiendo un error menor o igual que medio metro (0,5 m).
Cuando damos una cantidad de forma aproximada, cometemos un error.
Se llama error absoluto a la diferencia (sin signo) entre la cantidad real y la aproximada.
En una cantidad obtenida mediante redondeo, el error absoluto es menor que media unidad del orden decimal de la última cifra significativa utilizada.
Una medida es tanto más precisa cuantas más cifras significativas tenga la cantidad con que se expresa.
La longitud de una vía es de 142 km .
En este caso: 141,5 km ≤ longitud de la vía < 142,5 km
El error es menor o igual que medio kilómetro (0,5 km = 500 m).
Observa que, aunque el error absoluto sea mayor en el caso de la vía que en el caso del ciprés, un error de 0,5 km en 142 km es menos significativo que 0,5 m en 23 m (error relativo):
Ciprés → 0,5/23 < 0,022 Vía → 0,5/142 < 0,004
Indica qué tipo de número decimal es cada uno de los siguientes:
3,52 2,888... 1,5454... 3,222...
2,7333... 3,5222... 1,030030003...
Indica qué tipo de número decimal se obtiene en cada división:
Ordena de menor a mayor estos números:
Escribe tres números decimales comprendidos entre 2,5 y
Escribe los dos números, a y b, que dividen el intervalo entre cero y uno en tres partes iguales.
¿Qué podemos decir del error absoluto de estas mediciones?
a) Ballena → 37 toneladas b) Pavo → 3 kg
¿Cuál de las mediciones del ejercicio anterior es más precisa?
Razona tu respuesta.
Representación de números irracionales.
