1. Divisibilidad y números enteros

Los conocimientos matemáticos de los antiguos egipcios y babilonios eran extensos y muy prácticos. Pitágoras (siglo VI a.C.) aprendió de ellos, pero en su actividad matemática aportó dos elementos que supusieron una extraordinaria mejora:

— En el estudio de la matemática buscó la satisfacción intelectual y no aplicaciones prácticas.

— Impuso que las propiedades se demostraran mediante razonamientos lógicos.

Pitágoras y sus discípulos rindieron un culto muy especial a los números, porque “el universo entero es armonía y número. Según ellos, los números lo regían todo: la música, el movimiento de los planetas, la geometría... Hablaban de números rectangulares, triangulares, cuadrados, pentagonales... Consideraban que el número 10 era ideal (incluso sagrado), porque era la suma de 1 + 2 + 3 + 4 y asociaban:

Se dedicaron con entusiasmo a la aritmética, nombre que dieron al estudio de los números y de sus propiedades.

Euclides (siglo III a.C.) recopiló, completó y sistematizó la mayor parte de los conocimientos matemáticos de su época. Aunque su mayor contribución fue a la geometría, también dio un gran impulso a la aritmética.

PARA EMPEZAR...

Números perfectos

Según los pitagóricos, un número es perfecto si coincide con la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, el 6:

Los divisores propios de 6 son 1, 2, 3 (el 6 es divisor de 6, pero no es divisor propio).

La suma de los divisores propios de seis es seis: 1 + 2 + 3 = 6

Comprueba que 28 también es perfecto.

Una propiedad enunciada por Euclides

1 + 2 + 4 + 8 + ... es una suma cuyo primer sumando es la unidad y cada uno de los siguientes es doble del anterior.

Si una de estas sumas da como resultado un número primo y lo multiplicamos por el último sumando, el resultado es un número perfecto. Por ejemplo:

1 + 2 = 3 es primo → (1 + 2) · 2 = 3 · 2 = 6 → es perfecto

1 + 2 + 4 = 7 es primo → (1 + 2 + 4) · 4 = 7 · 4 = 28 → es perfecto

Aplica la propiedad anterior para obtener otro número perfecto

Números amigos

Los pitagóricos llamaban amigos a dos números, cuando la suma de los divisores propios de cada uno de ellos es igual al otro.

(Hermoso concepto de la amistad: cada uno se perfecciona en el otro).

La suma de los divisores propios de 220 es:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Haz lo mismo con 284. ¿Qué observas?
¿Qué dirían los pitagóricos de los números 220 y 284?

Para calcularlo al estilo de Arquímedes, utiliza sus datos:

DEBERÁS RECORDAR

El significado de la división y la relación existente entre sus términos.
Cuándo son necesarios los números negativos.
Cuáles son los números enteros, cómo se ordenan y cómo se representan en la recta numérica.
La prioridad de las operaciones en las expresiones con números naturales.

WWW. 1. Todas estas cuestiones están desarrolladas en http://www.anayadigital.com, junto con algunas actividades para practicar sobre ellas.

Múltiplos y divisores

Dos números están emparentados por la relación de divisibilidad cuando su cociente es exacto.

EJEMPLO

La división 60 : 20 es exacta.

El número 60 contiene exactamente 3 veces a 20.

→ a es múltiplo de b.

Si la división a : b es exacta

→ b es divisor de a.

Los múltiplos de un número

Los múltiplos de un número lo contienen una cantidad exacta de veces y se obtienen multiplicándolo por cualquier otro número natural.

EJEMPLO

Calculamos la serie ordenada de múltiplos de 15:

Un número tiene infinitos múltiplos.

→ a es múltiplo de 1.

Todo número es múltiplo de sí mismo y de la unidad. → a · 1 = a

→ a es múltiplo de a.

Una propiedad de los múltiplos de un número

Observa que si sumamos dos múltiplos de 5, obtenemos otro múltiplo de 5.

3 · 5 + 4 · 5 = (3 + 4) · 5 = 7 · 5

La suma de dos múltiplos de un número a es otro múltiplo de a.

m · a + n · a = (m + n) · a

Si a un múltiplo de a se le suma otro número que no lo sea, el resultado no es múltiplo de a.

Los divisores de un número

Los divisores de un número están contenidos en él una cantidad exacta de veces y, por tanto, lo dividen con cociente exacto.

EJEMPLO

Buscamos todos los divisores de 75:

Los divisores de 75 son:

Observa que van emparejados.

WWW 2. Actividades para reforzar los conceptos de múltiplo y de divisor.

Un número tiene una cantidad finita de divisores.
Un número tiene al menos dos divisores: él mismo y la unidad.

Actividades

Busca, entre estos números, parejas emparentadas por la relación de divisibilidad:

Calcula mentalmente y contesta.

a) ¿Es 18 múltiplo de 5? ¿Y de 6?

b) ¿Es 50 múltiplo de 10? ¿Y de 9?

c) ¿Es 6 divisor de 20? ¿Y de 300?

d) ¿Es 10 divisor de 75? ¿Y de 750?

Calcula con lápiz y papel y responde.

a) ¿Es 17 divisor de 153? ¿Y de 204?

b) ¿Es 780 múltiplo de 65? ¿Y de 80?

Selecciona, entre estos números:

a) Los múltiplos de 10.

b) Los múltiplos de 12.

c) Los múltiplos de 15.

d)Los múltiplos de 30.

Encuentra, entre estos números:

a) Los divisores de 60.

b) Los divisores de 75.

c) Los divisores de 90.

d) Los divisores de 100.

Escribe los cinco primeros múltiplos de 12 y los cinco primeros múltiplos de 13.

Encuentra todos los múltiplos de 15 comprendidos entre 420 y 480.

Calcula el primer múltiplo de 13 mayor que 1000.

Calcula todos los divisores de cada uno de los siguientes números:

Criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad son una serie de reglas, muy simples, que permiten descubrir con rapidez si un número es múltiplo de 2, 3, 5, ...

Divisibilidad por 2

Un número de varias cifras siempre se puede descomponer en un múltiplo de 2 más la cifra de las unidades:

Y según la propiedad que has estudiado en la página 18, para que el número sea múltiplo de 2, ha de serlo la cifra de las unidades.

Un número es múltiplo de 2 cuando termina en 0, 2, 4, 6 u 8.

Divisibilidad por 5 y por 10

Siguiendo razonamientos similares al anterior, se demuestra que:

Un número es múltiplo de 5 si termina en 0 o en 5.
Un número es múltiplo de 10 si termina en 0.

Divisibilidad por 3 y por 9

Un número de varias cifras siempre se puede descomponer en un múltiplo de 3 más la suma de sus cifras.

EJEMPLO

El primer sumando es múltiplo de 3. Para que el número sea múltiplo de 3, también ha de serlo el segundo sumando.

Y el mismo razonamiento sirve para los múltiplos de 9.

Un número es múltiplo de 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Un número es múltiplo de 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

WWW 3. Ejercicios para recordar y afianzar los criterios de divisibilidad.

EJEMPLO

1 254 → 1 + 2 + 5 + 4 = 12 → Es múltiplo de 3.

4 063 → 4 + 0 + 6 + 3 = 13 → No es múltiplo de 3.

Los divisores de un número permiten su descomposición en forma de producto de dos o más factores.

Por ejemplo, los divisores de 40 son: 40 - 20 - 10 - 8 - 5 - 4 - 2 - 1

40 = 8 · 5 = 2 · 2 · 2 · 5

WWW 4. Actividades para recordar y afianzar el concepto de número primo.

Los números que, como el 40, se pueden descomponer en factores más simples, se llaman números compuestos.

Sin embargo, otros números, como el 13, solo tienen dos divisores, 13 y 1, y, por tanto, no se pueden descomponer en forma de producto:

13 = 13 · 1 → no se puede descomponer

Los números que, como el 13, no se pueden descomponer en factores se llaman números primos.

Un número que no se puede descomponer en factores es un número primo.
Un número primo solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.
Los números que no son primos se llaman compuestos.

En la tabla de la izquierda, llamada la Criba de Eratóstenes, se han marcado:

— Los múltiplos de 2 excepto el 2 → (4 - 6 - 8 - 10 - ...) → 2

— Los múltiplos de 3 excepto el 3 → (6 - 9 - 12 - 15 - ...) → 3

— Los múltiplos de 5 excepto el 5 → (10 - 15 - 20 - 25 - ...) → 5

— ... y así sucesivamente → 7, 11, 13, 17, 19 , ...

Los números que quedan, salvo el 1, son los números primos.

Estos son los números primos menores que 100:

Actividades

Descompón en dos factores los siguientes números:

Descompón los siguientes números en el máximo número de factores que sea posible:

Descompón en factores, de todas las formas que sea posible, el número 100.

Separa, entre los siguientes números, los primos de los compuestos:

Descomposición de un número en factores primos

El mayor nivel de descomposición factorial de un número se alcanza cuando todos los factores son primos, pues, como ya sabes, estos no se pueden descomponer en otros más simples.

WWW 5. Actividades para recordar cómo hay que descomponer un número en sus factores primos.

EJEMPLOS

Para descomponer un número en factores primos, conviene actuar ordenadamente. Observa cómo descomponemos el número 924:

Para descomponer un número en factores primos, lo dividimos entre 2 tantas veces como sea posible; después, entre 3; después, entre 5, ... y así sucesivamente entre los siguientes primos hasta obtener 1 en el cociente.

Actividades

Descompón mentalmente en el máximo número de factores.

a) 12 =

b) 16 =

c) 18 =

d) 20 =

e) 24 =

f) 30 =

g) 32 =

h) 36 =

i) 40 =

j) 50 =

k) 75 =

l) 100 =

Copia y completa en tu cuaderno los procesos de descomposición factorial.

Descompón estos números en el máximo número de factores:

a) 270 =

b) 360 =

c) 630 =

d) 750 =

e) 1 000 =

f) 1 100 =

Descompón en factores los números siguientes:

a) 84 =

b) 130 =

c) 160 =

d) 280 =

e) 230 =

f) 400 =

g) 560 =

h) 594 =

i) 720 =

j) 975 =

k) 2 340 =

l) 5 230 =

Calcula los números que tienen las siguientes descomposiciones factoriales

a) 2² · 3 · 7 =

b) 2³ · 5³ =

c) 3² · 5² · 7 =

d) 2² · 7 · 13 =

Múltiplos y divisores de números descompuestos en factores primos

Para facilitar la comprensión del resto de la unidad, conviene que nos paremos a reflexionar sobre la estructura de los múltiplos y los divisores de un número que se presenta descompuesto en factores primos.

Tomemos, por ejemplo, el número 150 descompuesto en factores primos:

Los múltiplos de 150 se obtienen multiplicando 150 por un número:

Los divisores de 150 son, aparte de él mismo y de la unidad:

Cada uno de los múltiplos de un número contiene, al menos, todos los factores primos de dicho número.
Los divisores de un número están formados por algunos de los factores primos de dicho número.

Actividades

Escribe factorizados, sin hacer ninguna operación, tres múltiplos de 12 = 2² · 3.

Escribe factorizado un número que sea a la vez múltiplo de a = 2 · 3 · 3 y de b = 2 · 3 · 5.

Escribe tres múltiplos comunes a los números m = 2² · 3 y n = 2² · 5.

Escribe factorizados, sin hacer operaciones, todos los divisores de 75 = 3 · 5 · 5.

Escribe un número que sea divisor de a = 2 · 3 · 5 y de b = 2 · 5 · 5 a la vez.

Escribe tres divisores comunes a los números m = 2³ · 3² y n = 2² · 3 · 5.

El mínimo común múltiplo de varios números, a, b, c, ... es el menor de sus múltiplos comunes, y se escribe así:

mín.c.m. (a, b, c, ...)

Cálculo del mínimo común múltiplo

Construiremos el mín.c.m. (a, b, c, ...) tomando todos los factores primos del número a, todos los del b, ..., pero solamente los imprescindibles.

EJEMPLO

Vamos a calcular el mínimo común múltiplo de 45 y 60.

Primero, descomponemos los números en factores primos:

45 = 3 · 3 · 5 = 3² · 5 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5

Después, seleccionamos los factores adecuados:

mín.c.m. (45, 60) = 180

Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números:

Se descomponen los números en factores primos.
Se toman todos los factores primos, comunes y no comunes, elevado cada uno al mayor de los exponentes con el que aparece.

Problema resuelto

En una fábrica se oye el escape de una válvula de gas cada 45 segundos, y el golpe de un martillo pilón, cada 60 segundos. Si se acaban de oír ambos sonidos simultáneamente, ¿cuánto tardarán en coincidir de nuevo?

mín.c.m. (45, 60) = 180

Solución: Ambos sonidos coinciden cada 180 s; es decir, cada 3 min.

Actividades

Calcula mentalmente.

a) mín.c.m. (3, 5) =

b) mín.c.m. (6, 8) =

c) mín.c.m. (10, 15) =

d) mín.c.m. (20, 30) =

Calcula.

a) mín.c.m. (12, 18) =

b) mín.c.m. (21, 35) =

c) mín.c.m. (24, 36) =

d) mín.c.m. (36, 40) =

e) mín.c.m. (72, 90) =

f ) mín.c.m. (90, 120) =

Calcula.

a) mín.c.m. (4, 6, 9)

b) mín.c.m. (6, 8, 9)

c) mín.c.m. (12, 18, 30)

d) mín.c.m. (24, 28, 42)

e) mín.c.m. (60, 72, 90)

f ) mín.c.m. (50, 75, 100)

Se apilan, en una torre, cubos de 30 cm de arista y, al lado, en otra torre, cubos de 36 cm de arista.
¿A qué altura coinciden las cimas de ambas torres?

El máximo común divisor de varios números, a, b, c, ... es el mayor de sus divisores comunes, y se escribe así:

máx.c.d. (a, b, c, ...)

Cálculo del máximo común divisor

Construiremos el máx.c.d. (a, b, c, ...) con todos los factores primos que tengan en común a, b, c, ...

EJEMPLO

Vamos a calcular el máximo común divisor de 40 y 60.

Primero, descomponemos los números en factores primos:

40 = 2 · 2 · 2 · 5 = 2³ · 5 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5

Después, seleccionamos los factores adecuados:

Para calcular el máximo común divisor de varios números:

Se descomponen los números en factores primos.
Se toman solamente los factores primos comunes, elevado cada uno al menor de los exponentes con el que aparece.

WWW 6. Actividades guiadas: cálculo del máx.c.d. y del mín.c.m.

Problema resuelto

En un encuentro cultural entre dos clubes, A y B, se organizan equipos iguales, sin mezclar elementos de uno y otro. El club A presenta 40 socios, y el B, 60 socios. ¿Cuántos elementos tendrá, como máximo, cada equipo?

máx.c.d. (40, 60) = 20

Solución: Cada equipo tendrá 20 elementos.

Actividades

Calcula mentalmente.

a) máx.c.d. (4, 6) =

b) máx.c.d. (6, 8) =

c) máx.c.d. (5, 10) =

d) máx.c.d. (15, 20) =

e) máx.c.d. (18, 27) =

f) máx.c.d. (50, 75) =

Calcula.

a) máx.c.d. (24, 36) =

b) máx.c.d. (28, 42) =

c) máx.c.d. (63, 99) =

d) máx.c.d. (90, 126) =

e) máx.c.d. (165, 275) =

f) máx.c.d. (360, 450) =

Calcula.

a) máx.c.d. (6, 9, 12) =

b) máx.c.d. (12, 18, 24) =

c) máx.c.d. (32, 40, 48) =

d) máx.c.d. (36, 60, 72) =

e) máx.c.d. (50, 60, 90) =

f) máx.c.d. (75, 90, 105) =

Se desea dividir un terreno rectangular, de 100 m de ancho por 120 m de largo, en parcelas cuadradas lo más grandes que sea posible.
¿Cuánto debe medir el lado de cada parcela?

Suma y resta

Recuerda algunas reglas básicas para resolver expresiones con números enteros:

Para sumar (restar) dos números:

Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el signo que tenían los sumandos.
Si tienen distinto signo, se restan los valores absolutos y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.

EJEMPLOS

Al suprimir un paréntesis precedido del signo más, los signos interiores no varían.

+(-3 + 8 - 2) = -3 + 8 - 2

Al suprimir un paréntesis precedido del signo menos, se cambian los signos interiores: más por menos y menos por más.

-(-3 + 8 - 2) = +3 - 8 + 2

Para sumar más de dos números positivos y negativos:

Se suman los positivos por un lado y los negativos por otro.
Se restan los resultados y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.

WWW 7. Actividades guiadas: expresiones con sumas y restas.

EJEMPLOS

a) 8 - 6 + 3 - 7 = 8 + 3 - 6 - 7 = 11 - 13 = -2

b) +(+4) + (-7) - (+3) - (-5) = 4 - 7 - 3 + 5 = 4 + 5 - 7 - 3 = 9 - 10 = -1

c) 9 - (2 - 7 + 3) + (-2 + 6) = 9 - 2 + 7 - 3 - 2 + 6 = 9 + 7 + 6 - 2 - 3 - 2 = 22 - 7 = 15

O bien, de otra forma:

9 - (2 - 7 + 3) + (-2 + 6) = 9 - (5 - 7) + (-2 + 6) = 9 - (-2) + (+4) = 9 + 2 + 4 = 15

Actividades

Calcula mentalmente.

a) 5 – 7 =

c) 3 – 4 =

e) 5 – 12 =

g) –12 + 17 =

i) –21 + 15 =

k) –1 – 9 =

b) 2 – 9 =

d) 6 – 10 =

f ) 9 – 15 =

h) –22 + 10 =

j) –3 – 6 =

l) –12 – 13 =

Resuelve.

a) 10 – 3 + 5 =

c) 2 – 9 + 1 =

e) 16 – 4 – 6 =

g) 9 – 8 – 7 =

b) 5 – 8 + 6 =

d) 7 – 15 + 2 =

f ) 22 – 7 – 8 =

h) 15 – 12 + 6 =

Calcula.

a) –3 + 10 – 1

c) –5 + 6 + 4

e) –18 + 3 + 6

g) –7 – 3 – 4

b) –8 + 2 – 3

d) –12 + 2 + 6

f ) –20 + 12 + 5

h) –2 – 13 – 5

Completa como en el ejemplo.

a) 3 - 9 + 4 - 8 - 2 + 13 = =

b) -15 - 4 + 12 - 3 - 11 - 2 = =

Calcula.

a) 3 - 7 + 2 - 5 = =

b) 2 - 6 + 9 - 3 + 4 = =

c) 7 - 10 - 5 + 4 + 6 - 1 = =

d) -6 + 4 - 3 - 2 - 8 + 5 = =

e) 12 + 5 - 17 - 11 + 20 - 13 = =

f) 16 - 22 + 24 - 31 + 12 - 15 = =

Quita paréntesis y calcula.

a) (-3) - (+4) - (-8) = =

b) -(-5) + (-6) - (-3) = =

c) (+8) - (+6) + (-7) - (-4) = =

d) -(-3) - (+2) + (-9) + (+7) = =

Resuelve de dos formas, como en el ejemplo.

a) 10 - (13 - 7) = 10 - (+6) = 10 - 6 = 4
b) 10 - (13 - 7) = 10 - 13 + 7 = 17 - 13 = 4

a) 15 – (12 – 8)

b) 9 – (20 – 6)

c) 8 – (15 – 12)

d) 6 – (13 – 2)

e) 15 – (6 – 9 + 5)

f ) 21 – (3 – 10 + 11 + 6)

Resuelve de una de las formas que ofrece el ejemplo:

a) (8 - 13) - (5 - 4 - 7) = (8 - 13) - (5 - 11) = (-5) - (-6) = -5 + 6 = 1
b) (8 - 13) - (5 - 4 - 7) = 8 - 13 - 5 + 4 + 7 = 19 - 18 = 1

a) (4 – 9) – (5 – 8)

b) –(1 – 6) + (4 – 7)

c) 4 – (8 + 2) – (3 – 13)

d) 12 + (8 – 15) – (5 + 8)

e) (8 – 6) – (3 – 7 – 2) + (1 – 8 + 2)

f ) (5 – 16) – (7 – 3 – 6) – (9 – 13 – 5)

Ejercicio resuelto

Calcular: 6 - [5 + (8 - 2)]

a) Primera forma: deshaciendo paréntesis.

6 - [5 + (8 - 2)] = 6 - [5 + 8 - 2] = 6 - 5 - 8 + 2 = 8 - 13 = -5

b) Segunda forma: operando dentro de los paréntesis.

6 - [5 + (8 - 2)] = 6 - [5 + (+6)] = 6 - [5 + 6] = 6 - [+11] = 6 - 11 = -5

Calcula.

a) 7 - [1 + (9 - 13)]

b) -9 + [8 - (13 - 4)]

c) 12 - [6 - (15 - 8)]

d) -17 + [9 - (3 - 10)]

e) 2 + [6 - (4 - 2 + 9)]

f) 15 - [9 - (5 - 11 + 7)]

Resuelve.

a) (2 – 9) – [5 + (8 – 12) – 7]

b) 13 – [15 – (6 – 8) + (5 – 9)]

c) 8 – [(6 – 11) + (2 – 5) – (7 – 10)]

d) (13 – 21) – [12 + (6 – 9 + 2) – 15]

e) [4 + (6 – 9 – 13)] – [5 – (8 + 2 – 18)]

f ) [10 – (21 – 14)] – [5 + (17 – 11 + 6)]

Multiplicación

Podemos calcular el producto de dos números enteros teniendo en cuenta que una multiplicación es una suma de sumandos iguales:

WWW 8. Actividades para recordar la multiplicación y la división de números enteros.

(+3) · (-6) = → Sumamos tres veces "menos seis". → +(-6) + (-6) + (-6) = -6 - 6 - 6 = -18

(-3) · (-6) = → Restamos tres veces "menos seis". → -(-6) - (-6) - (-6) = +6 + 6 + 6 = +18

Sin embargo, para multiplicar con rapidez, aplicamos la siguiente regla:

El producto de dos números enteros es:

Positivo, si los factores tienen signos iguales.
Negativo, si los factores tienen signos diferentes.

EJEMPLOS

(+4) · (+3) = +12 (-5) · (-4) = +20 (+6) · (-4) = -24 (-4) · (+8) = -32

División

La división de números enteros guarda con la multiplicación las mismas relaciones que en los números naturales:

(+4) · (+6) = +24 → (+24) : (+4) = +6

(-4) · (-6) = +24 → (+24) : (-4) = -6

(+4) · (-6) = -24 → (-24) : (+4) = -6 ; (-24) : (-6) = +4

En la división se aplica la misma regla de los signos que en la multiplicación.

Operaciones combinadas

Observa el orden en que realizamos las operaciones para calcular el valor de la siguiente expresión:

WWW 9. Actividades guiadas: expresiones con operaciones combinadas.

Actividades

Multiplica.

a) (+10) · (-2) =

b) (-4) · (-9) =

c) (-7) · (+5) =

d) (+11) · (+7) =

Observa los ejemplos y calcula.

$pila negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita negrita por negrita negrita paréntesis izquierdo negrita más negrita 2 negrita paréntesis derecho con negrita llave horizontal de abajo debajo espacio negrita por negrita negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita igual negrita espacio negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 6 negrita paréntesis derecho negrita negrita por negrita negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita igual negrita espacio negrita más negrita 30$
$negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita negrita por negrita espacio pila negrita paréntesis izquierdo negrita más negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita por negrita negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 5 negrita paréntesis derecho con negrita llave horizontal de abajo debajo$ $negrita igual negrita espacio negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita negrita por negrita negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 10 negrita paréntesis derecho negrita espacio negrita igual negrita espacio negrita más negrita 30$

a) (-2) · (-3) · (+4) = =

b) (-1) · (+2) · (-5) = =

c) (+4) · (-3) · (+2) = =

d) (-6) · (-2) · (-5) = =

Divide.

a) (–18) : (+3) = =

b) (–15) : (–5) = =

c) (+36) : (–9) = =

d) (–30) : (–10) = =

e) (–52) : (+13) = =

f ) (+22) : (+11) = =

Calcula el valor de x en cada caso:

a) (-18) : x = +6 → x =

b) (+4) · x = -36 → x =

c) x · (-13) = 91 → x =

d) x : (-11) = +5 → x =

Completa y compara. ¿Qué observas?

(+60) : [(-30) : (-2)] = (+60) : [+15] =

[(+60) : (-30)] : (-2) = [] : (-2) =

Calcula.

a) (–28) : [(+12) : (–3)]

b) [(–45) : (+3)] : (+5)

c) (–100) : [(–36) : (–9)]

d) [(–72) : (+9)] : (–8)

Calcula siguiendo el ejemplo.

a) [(+5) · (-8)] : [(-2) · (-5)]

b) [(+28) : (-7)] · [(+20) : (-4)]

c) [(-10) : (+5)] : [(-28) : (+4)]

Calcula como en el ejemplo.

15 - 8 · 3 = 15 - 24 = -9

a) 18 – 5 · 3 = =

b) 6 – 4 · 2 = =

c) 7 · 2 – 16 = =

Calcula.

a) 18 – 15 : 3 = =

b) 3 – 30 : 6 = =

c) 20 : 2 – 11 = =

Calcula como en el ejemplo.

21 - 4 · 6 + 12 : 3 = 21 - 24 + 4 = 25 - 24 = 1

a) 20 – 4 · 7 + 11 = = =

b) 12 – 6 · 5 + 4 · 2 = = =

c) 15 – 20 : 5 – 3 = = =

d) 6 – 10 : 2 – 14 : 7 = = =

e) 5 · 3 – 4 · 4 + 2 · 6 = = =

f ) 7 · 3 – 5 · 4 + 18 : 6 = = =

Observa el ejemplo y calcula.

(–3) · (– 4) + (– 6) · 3 = (+12) + (–18) = 12 – 18 = – 6

a) 5 · (–8) – (+9) · 4 = = =

b) 32 : (–8) – (–20) : 5 = = =

c) (–2) · (–9) + (–5) · (+4) = = =

d) (+25) : (–5) + (–16) : (+4) = = =

e) (+6) · (–7) + (–50) : (–2) = = =

f ) (+56) : (–8) – (–12) · (+3) = = =

Calcula.

a) 18 – 5 · (3 – 8) = = =

b) 11 – 40 : (–8) = = =

c) 4 · (8 – 11) – 6 · (7 – 9) = = =

d) (4 – 5) · (–3) – (8 – 2) : (–3) = = =

Ejercicio resuelto

(-2) · [11 + 3 · (5 - 7)] - 3 · (8 - 11) =

= (-2) · [11 + 3 · (-2)] - 3 · (-3) =

= (-2) · [11 - 6] + 9 = (-2) · [+5] + 9 = -10 + 9 = -1

Calcula.

a) 15 + 2 · [8 – 3 · 5]

b) (–3) · (+5) – 3 · [11 + 3 · (5 – 11)]

c) 28 : (–7) – (–6) · [23 – 5 · (9 – 4)]

d) (–2) · (7 – 11) – [12 – (6 – 8)] : (–7)

e) [18 + 5 · (6 – 9)] – [3 – 16 : (5 + 3)]

Potencias de números enteros

Recuerda que una potencia es una multiplicación de factores iguales:

EJEMPLOS

(+4)² = (+4) · (+4) = +16
(-3)⁴ = (-3) · (-3) · (-3) · (-3) = +81
(-3)⁵ = (-3) · (-3) · (-3) · (-3) · (-3) = -243

Potencias de números negativos

En las sucesivas potencias de un número negativo obtenemos, alternativamente, resultados positivos y negativos:

(-3)¹ = -3 (-3)² = +9 (-3)³ = -27 (-3)⁴ = +81

Al elevar un número negativo a una potencia:

Si el exponente es par, el resultado es positivo.

(-a)^{n (par)} → positivo

Si el exponente es impar, el resultado es negativo.

(-a)^{n (impar)} → negativo

Actividades

Escribe en forma de potencia.

a) (-2) · (-2) =

b) (+5) · (+5) · (+5) =

c) (-4) · (-4) · (-4) · (-4) =

d) (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) =

Completa.

POTENCIA	BASE	EXPONENTE	VALOR
(-1)⁷
(-2)⁴
(+3)³
(-4)²

Escribe en forma de producto y calcula:

a) (–2)⁶ = =

b) (–3)¹ = =

c) (+3)⁴ = =

d) (–5)² = =

e) (–10)⁵ = =

f ) (–8)³ = =

Obtén con ayuda de la calculadora como se hace en el ejemplo.

a) 8⁶ =

b) (–8)⁶=

c) 11⁵ =

d) (–11)⁵=

e) 27⁷=

f ) (–27)⁷ =

Calcula el valor de x en cada caso:

a) (–2)^x = +16 → x =

b) (–3)^x = –27 → x =

c) (+6)^x = +36 → x =

d) (–5)^x = –125 → x =

e) (–10)^x = +10 000 → x =

f ) (–10)^x = –10 → x =

Averigua el valor o los valores de x que cumplen la igualdad en cada caso:

a) x² = +4 → x =

b) x³ = -64 → x =

c) x⁶ = +1 → x =

d) x⁷ = -1 → x =

e) x⁴ = 2401 → x =

f)x⁵ = -100000 → x =

Propiedades de las potencias

Las propiedades que vienen a continuación son básicas para el cálculo con potencias. Memorízalas y analiza detenidamente cada ejemplo.

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.

(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ

Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente entre las potencias del dividendo y del divisor.

(a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ

Producto de potencias de la misma base

Para multiplicar dos potencias de igual base, se suman los exponentes.

a^m · aⁿ = a^{m + n}

Cociente de potencias de la misma base

Para dividir dos potencias de igual base, se restan los exponentes.

a^m : aⁿ = a^{m - n}

Potencia de una potencia

Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes.

(a^m)ⁿ = a^{m · n}

Actividades

Calcula.

a) (-2)⁶ + (-2)⁵

b) 10⁴ + (-10)³ - 10² + (-10)

c) (-5)² - (-2)⁴ + (-1)⁶

d) (+4)³ : (-2)⁴ + (+9)² : (-3)³

e) (+4)² + (-2)³ : [(-2)³ + (-3)²]

Reduce a una sola potencia como en el ejemplo.

2⁵ · (-3)⁵ = [2 · (-3)]⁵ = (-6)⁵

a) 3² · 4² = =

b) (-2)³ · 4³ = =

c) (-5)² · (+3)² = =

d) 3⁶ · (-2)⁶ = =

Expresa con una sola potencia igual que en el ejemplo.

(-15)⁴ : (+3)⁴ = [(-15) : (+3)]⁴ = (-5)⁴ = 54

a) 9⁴ : 3⁴ = =

b) (+15)³ : (-5)³ = =

c) (-20)² : (-4)² = =

d) (-18)⁴ : (-6)⁴ = =

Reduce aplicando la propiedad a^m · aⁿ = a^{m + n}.

a³· a² = a⁵

a) x² · x³ =

b) m³ · m⁵ =

c) a⁴ · a⁴ =

d) z⁵ · z =

Completa.

a) (-6)³ · (-6)⁴ = (-6)

b) (+3)⁶ · (+3)² = 3

c) (-2)⁸ · (-2)² = 2

d) (-5)³· (+5)² = (-5)

Reduce a una sola potencia.

a) 2⁵ · 2⁷ =

b) (-2)³ · (+2)⁶ =

c) (-12)² · (+12)² =

d) (+9)⁴ · (-9)² =

Reduce aplicando la propiedad a^m : aⁿ = a^{m - n}.

a) x⁷ : x⁴ =

b) m⁵ : m⁴ =

c) a⁷ : a² =

d) z⁸ : z³ =

Completa.

a) 5⁹ : 5³ = 5

b) (–2)⁶ : (–2)³ = (–2)

c) (–4)⁸ : (+4)³ = 4

d) (+6)⁸ : (–6)⁵= (–6)

Reduce a una potencia única.

a) (-7)⁸ : (-7)⁵ =

b) 10⁹ : (-10)⁴ =

c) 12⁴: (-12) =

d) (-4)¹⁰ : (+4)⁶ =

Aplica la propiedad (a^m)ⁿ = a^m · n, y reduce.

a) (x³)² = =

b) (m⁴)³ = =

c) (a³)³ = =

d) (z⁶)³ = =

Completa.

a) (3²)⁴ = 3

b) [(-2)⁴]³ = (-2)

c) [(+5)²]² = (+5)

d) [(-6)³]⁵ = (-6)

Reduce a una sola potencia.

a) [(-2)²]² =

b) [(+5)³]² =

c) [(+7)³]³ =

d) [(-4)²]⁴ =

Reduce como en el ejemplo.

(a⁶ · a⁴) : a⁷= a¹⁰ : a⁷ = a³

a)(x⁵· x²) : x⁴ = =

b) m⁷ : (m² · m³) = =

c) (a · a⁶) : (a² · a⁴) = =

d) (z⁵ · z³) : (z⁶ · z²) = =

Calcula como en el ejemplo.

[(-4)⁷ · 4³] : [(-4)²]⁴ = (-4)¹⁰ : (-4)⁸ = (-4)² = 16

a) (5⁸ · 5⁴) : (5²)⁵ = = =

b) [(-2)⁶· (+2)³] : [(+2)³]² = = =

c) [(-3)³]³ : [(-3)² · (-3)³] = = =

d) [(-7)⁸ · 7⁵] : (7⁴)³ = = =

Calcula como en el ejemplo.

12⁵ : 6⁵ = (12 : 6)⁵ = 2⁵ = 3²

a) 15⁴ : 5⁴ = = =

b) (-12)³ : 6³ = = =

c) (-20)⁵ : (-2)⁵ = = =

d) 8⁶ : (-2)⁶ = = =

e) (6³ · 4³) : (-8)³ = = =

f) [8⁴ · (-5)⁴] : (-20)⁴ = = =

Opera y calcula.

a) 10⁶ : (5⁴ · 2⁴)

b) (-12)⁷ : [(-3)⁵ · 4⁵]

c) [(-9)⁵ · (-2)⁵] : 18⁴

d) [5⁷ · (-4)⁷] : 20⁴

e) 8⁴ : (2⁵ · 4²)

f) 25³ : [(-15)⁵ : 3⁵]

Raíz cuadrada de un número entero

La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado.

√a = b ⟷ b² = a

Los números cuya raíz cuadrada es un número entero se llaman cuadrados perfectos.

EJEMPLOS

√49 = 7 ⟷ 7² = 49

√400 = 20⟷ 20² = 400

↓

49 y 400 son cuadrados perfectos.

Teniendo en cuenta el concepto de raíz cuadrada, vemos que:

Un número positivo tiene dos raíces cuadradas.

√(+16)

↓

+4 ⟷ (+4)² = +16
-4 ⟷ (-4)² = +16

Un número negativo no tiene raíz cuadrada.

√(-16) = x ⟷ x² = -16 ⟷ Imposible.

√(-16) → No existe, porque no hay ningún número cuyo cuadrado dé un resultado negativo.

Otras raíces

Además de la raíz cuadrada, podemos obtener raíces de índice superior a dos. En general:

EJEMPLOS

a) ³√(+8) = +2 ⟷ (+2)³ = +8

b) ³√(-8) = -2 ⟷ (-2)³ = -8

c) ⁴√(+81) = +3 ⟷ (+3)⁴ = 81
-3 ⟷ (-3)⁴ = 81

d) ⁴√(-81) ⟷ No existe.

Actividades

Calcula, si existen.

a) √(+1) =

b) √(-1) =

c) √(+25) =

d) √(-36) =

e) √(+100) =

f) √(-100) =

g) √(+121) =

h) √(-169) =

i) √(+400) =

j) √(-400) =

k) √(+484) =

l) √(-1000) =

Reflexiona y calcula, si existen.

a) ³√27 =

b) ³√-27 =

c) ⁴√16 =

d) ⁴√-16 =

e) ⁵√32 =

f) ⁵√-32 =

g) ⁶√64 =

h) ⁶√-64 =

i)⁷√(+1) =

j) ⁷√-1 =

k) ⁸√(+1) =

l) ⁸√-1 =

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

Múltiplos y divisores

Encuentra cuatro parejas múltiplo-divisor entre los siguientes números:

Responde justificando tu respuesta.

a) ¿Es 132 múltiplo de 11?

b) ¿Es 11 divisor de 132?

c) ¿Es 574 múltiplo de 14?

d) ¿Es 27 divisor de 1542?

Calcula.

a) Los cinco primeros múltiplos de 10.

b) Los cinco primeros múltiplos de 13.

c) Los cinco primeros múltiplos de 31.

Calcula.

a) Todos los divisores de 18.

b) Todos los divisores de 23.

c) Todos los divisores de 32.

Selecciona:

a) Los múltiplos de 2.

b) Los múltiplos de 3.

c) Los múltiplos de 5.

Rodea con un círculo los múltiplos de 3 y tacha los múltiplos de 9:

Números primos y compuestos

Escribe.

a) Los diez primeros números primos.

b) Los números primos comprendidos entre 50 y 60.

c) Los números primos comprendidos entre 80 y 100.

d) Los tres primeros primos mayores que 100.

Mentalmente, sin lápiz ni papel, separa los números primos de los compuestos:

Descompón, mentalmente, en el máximo número de factores las siguientes cantidades:

Descompón en factores primos.

a) 48 =

b) 54 =

c) 90 =

d) 105 =

e) 120 =

f ) 135 =

g) 180 =

h) 200 =

Descompón en el máximo número de factores:

a) 378

b) 1144

c) 1872

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

Calcula.

a) Los diez primeros múltiplos de 10.

b) Los diez primeros múltiplos de 15.

c) Los primeros múltiplos comunes de 10 y 15.

d) El mínimo común múltiplo de 10 y 15.

Calcula mentalmente.

a) mín.c.m. (2, 3) =

b) mín.c.m. (6, 9) =

c) mín.c.m. (4, 10) =

d) mín.c.m. (6, 10) =

e) mín.c.m. (6, 12) =

f ) mín.c.m. (12, 18) =

Calcula.

a) mín.c.m. (12, 15)

b) mín.c.m. (24, 60)

c) mín.c.m. (48, 54)

d) mín.c.m. (90, 150)

e) mín.c.m. (6, 10, 15)

f ) mín.c.m. (8, 12, 18)

Escribe.

a) Todos los divisores de 18.

b) Todos los divisores de 24.

c) Los divisores comunes de 18 y 24.

d) El máximo común divisor de 18 y 24.

Calcula mentalmente.

a) máx.c.d. (4, 8) =

b) máx.c.d. (6, 9) =

c) máx.c.d. (10, 15) =

d) máx.c.d. (12, 16) =

e) máx.c.d. (16, 24) =

f ) máx.c.d. (18, 24) =

Calcula.

a) máx.c.d. (36, 45) =

b) máx.c.d. (48, 72) =

c) máx.c.d. (105, 120) =

d) máx.c.d. (135, 180) =

e) máx.c.d. (8, 12, 16) =

f ) máx.c.d. (45, 60, 105) =

Reflexiona, decide, aplica

¿De cuántas formas distintas se pueden envasar 80 botes de mermelada en cajas iguales?
Indica, en cada caso, el número de cajas necesarias y el número de botes por caja.

Marta ha comprado varios balones por 69 €.
El precio de un balón era un número exacto de euros, sin decimales.
¿Cuántos balones ha comprado y cuánto costaba cada balón?

En mi colegio hay dos clases de 2.º ESO: 2.º A, con 24 estudianres, y 2.º B, con 30.
Tenemos que hacer equipos con el mismo número de miembros, pero sin mezclar de las dos clases.
Describe todas las formas posibles de hacer los equipos.

En un acuartelamiento hay 3007 soldados. ¿Se pueden colocar en formación, con un número exacto de filas y columnas?
Justifica la respuesta.

Un grupo de 20 personas se pueden organizar en un número exacto de filas y columnas.
Por ejemplo, cuatro filas y cinco columnas.

Sin embargo, no se puede hacer lo mismo con un grupo de 13 personas, que solo se pueden poner en una única fila.

Busca todos los números comprendidos entre 150 y 170 que solo se puedan organizar en una fila única.

Un almacenista tiene que colocar 2480 botes en filas, columnas y capas, formando un bloque lo más compacto posible. ¿Cómo lo harías tú?

En una fábrica de productos deportivos se empaquetan las pelotas de tenis de la siguiente forma:

— Tres pelotas en cada bote.

— Seis botes en cada caja.

— Una cantidad fija de cajas en cada palé.

a) ¿Cuál o cuáles de estas cantidades pueden ser el número de pelotas de un palé?

b) Sabiendo, además, que las cajas de un palé se distribuyen en capas de ocho filas, ¿cuál es definitivamente el número de pelotas de un palé?

Se dice que dos números son primos entre sí cuando su único divisor común es la unidad. Por ejemplo:

32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2
35 = 5 · 7
↓
Son primos entre sí.

Escribe otras tres parejas de números que sean primos entre sí.

Justifica la siguiente afirmación:
Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, entonces a es múltiplo de c.

a = k · b
b = h · c
↓
8 a = ? · c

Demuestra que si a es divisor de b y b es divisor de c, entonces a es divisor de c.

b = a · m
c = b · n
↓
8 c = ? · a

Si m es múltiplo de n, calcula:

a) mín.c.m. (m, n)

b) máx.c.d. (m, n)

Suma y resta de números enteros

Calcula mentalmente.

a) 5 – 9 =

b) 5 – 11 =

c) 13 – 9 =

d) 22 – 30 =

e) 21 – 33 =

f ) 46 – 52 =

g) –8 – 14 =

h) –21 – 15 =

i) –33 – 22 =

j) –13 + 18 =

k) –22 + 9 =

l) –37 + 21 =

Calcula.

a) 5 - 8 - 4 + 3 - 6 + 9 =

b) 10 - 11 + 7 - 13 + 15 - 6 =

c) 9 - 2 - 7 - 11 + 3 + 18 - 10 =

d) -7 - 15 + 8 + 10 - 9 - 6 + 11 =

Quita paréntesis y calcula.

a) (+5) – (–3) – (+8) + (–4) =

b) –(–7) – (+5) + (–6) + (+4) =

c) +(–9) – (+13) – (–11) + (+5) =

d) –(+8) + (–3) – (–15) – (+6) – (+2) =

Calcula.

a) 3 – (5 + 7 – 10 – 9) =

b) 4 + (8 – 6 – 10) – (6 – 10 + 4) =

c) (7 – 11 – 4) – (9 – 6 – 13) =

d) –(6 – 3 – 5) – (–4 – 7 + 15) =

Opera.

a) 16 + [3 – 9 – (11 – 4)] =

b) 8 – [(6 – 9) – (7 – 13)] =

c) (6 – 15) – [1 – (1 – 5 – 4)] =

d) (2 – 12 + 7) – [(4 – 10) – (5 – 15)] =

e) [9 – (5 – 17)] – [11 – (6 – 13)] =

Quita paréntesis y calcula.

a) 6 – (5 – [4 – (3 – 2)]) =

b) 6 – (7 – [8 – (9 – 10)]) =

c) 10 + (11 – [12 + (13 – 14)]) =

d) 10 – (9 + [8 – (7 + 6)]) =

e) [(3 – 8) – 5] + (–11 + [7 – (3 – 4)]) =

Multiplicación y división de números enteros

Opera aplicando la regla de los signos.

a) (–5) · (–6) =

b) (–21) : (+3) =

c) (–4) · (+7) =

d) (+42) : (–6) =

e) (–6) · (–8) =

f ) (+30) : (+5) =

g) (+10) · (+5) =

h) (–63) : (–9) =

i) (–9) · (–5) =

j) (+112) : (–14) =

Obtén el valor de x en cada caso:

a) x · (–9) = +9 → x =

b) (–5) : x = –1 → x =

c) (–5) · x = –45 → x =

d) x : (–4) = +3 → x =

e) x · (+6) = –42 → x =

f ) (+28) : x = –7 → x =

Calcula.

a) (–2) · [(+3) · (–2)] =

b) [(+5) · (–3)] · (+2) =

c) (+6) : [(–30) : (–15)] =

d) [(+40) : (–4)] : (–5) =

e) (–5) · [(–18) : (–6)] =

f ) [(–8) · (+3)] : (–4) =

g) [(–21) : 7] · [8 : (–4)] =

h) [6 · (–10)] : [(–5) · 6] =

Operaciones combinadas con números enteros

Calcula.

a) 5 – 4 · 3 =

b) 2 · 9 – 7 =

c) 4 · 5 – 6 · 3 =

d) 2 · 8 – 4 · 5 =

e) 16 – 4 · 7 + 2 · 5 – 19 =

f ) 5 · 6 – 21 – 3 · 7 + 12 =

Opera dentro del paréntesis y, después, multiplica.

a) 3 · (9 – 11) =

b) –5 · (4 – 9) =

c) 5 · (9 – 4) – 12 =

d) 1 + 4 · (6 – 10) =

e) 6 · (8 – 12) – 3 · (5 – 11) =

f ) 4 · (13 – 8) + 3 · (9 – 15) =

Calcula y observa que el resultado varía según la posición de los paréntesis.

a) 17 – 6 · 2 =

b) (17 – 6) · 2 =

c) (–10) – 2 · (–3) =

d) [(–10) – 2] · (–3) =

e) (–3) · (+5) + (–2) =

f ) (–3) · [(+5) + (–2)] =

Calcula paso a paso.

a) 5 · (-4) - 2 · (-6) + 13

b) -6 · (+4) + (-3) · 7 + 38

c) (-2) · (+8) - (-5) · (-6) + (-9) · (+4)

d) -(-9) · (+5) · (-8) · (+7) - (+4) · (-6)

Opera.

a) 5 · [11 - 4 · (11 - 7)]

b) (-4) · [12 + 3 · (5 - 8)]

c) 6 · [18 + (-4) · (9 - 4)] - 13

d) 4 - (-2) · [-8 - 3 · (5 - 7)]

e) 24 - (-3) · [13 - 4 - (10 - 5)]

f) 6 · (7 - 11) + (-5) · [5 · (8 - 2) - 4 · (9 - 4)]

Calcula paso a paso.

a) 10 : [8 - 12 : (11 - 9)]

b) 6 : (13 - 15) - [(8 - 4) : (-2) - 6 : (-3)]

Potencias de números enteros

Calcula.

a) (-2)¹ =

b) (-2)² =

c) (-2)³ =

d) (-2)⁴ =

e) (-2)⁵ =

f) (-2)⁶ =

g) (-2)⁷ =

h) (-2)⁸ =

i) (-2)⁹ =

Calcula.

a) (-5)⁴ =

b) (+4)⁵ =

c) (-6)³ =

d) (+7)³ =

e) (-8)² =

f) (-10)⁷ =

Observa...

(-2)³ = (-2) · (-2) · (-2) = -8

(+2)³ = (+2) · (+2) · (+2) = +8

-2³ = -2 · 2 · 2 = -8

+2³ = +2 · 2 · 2 = +8

...y calcula.

a) (-3)⁴

b) (+3)⁴

c) -3⁴

d) +3⁴

Expresa como potencia de un único número.

a) 10⁴ : 5⁴=

b) 12⁷ : (-4)⁷=

c) (-9)⁶ : 3⁶=

d) 2⁶ · 2⁶=

e) (-4)⁵ · (-2)⁵=

f) 2⁴ · (-5)⁴=

Reduce a una sola potencia.

a) (x²)⁵=

b) (m⁴)³ =

c) [a¹⁰ : a⁶]² =

d) (a · a³)³ =

e) (x⁵ : x²) · x⁴ =

f) (x⁶ · x⁴) : x⁷ =

Expresa como una potencia única.

a) 5² · (-5)³=

b) (-6)⁸ : (-6)⁵ =

c) [7⁴ · (-7)⁴] : (-7)⁶=

d) (2⁴)³ : 2⁹ =

e) [(-3)⁴]³ : [(-3)³]³ =

f) (5²)⁵ : [(-5)³]² =

Opera y calcula.

a) [2⁹ : (2³)²] · 5³

b) 10² : [(5²)³ : 5⁴]

c) 6³ : [(2⁷ : 2⁶) · 3]²

d) [(6²)² · 4⁴] : (2³)⁴

Raíces de números enteros

Calcula.

a) √49

b) √7²

c) √– 49

d) √15²

e) √225

f ) √–225

g) √2 500

h) √50²

i) √–2 500

Calcula las raíces siguientes:

a) √x²

b) √(–x )²

c) √–x ²

d) √a ⁴

e) √(–a )⁴

f ) √–a ⁴

g) √m ⁶

h) √(–m )⁶

i) √–m ⁶

Calcula, si existen, estas raíces:

a) ³√1

b) ³√–1

c) ³√64

d) ⁴√625

e) ⁴√–625

f ) ⁴√10 000

Calcula.

a) ³√a ³

b) ⁴√x ⁴

c) ⁵√m⁵

Observa el ejemplo y razona, en cada caso, de manera similar.

⁴√x¹² = x³, puesto que (x³)⁴ = x^{3 · 4} = x¹²

a) ³√a¹²

b) ⁵√m¹⁰

c) √x¹⁰

Interpreta, describe, exprésate

El brazo mecánico de un robot ha sido programado de la siguiente forma:

— Primer minuto: avanza 1 cm y retrocede 5 cm.

— Segundo minuto: avanza 2 cm y retrocede 5 cm.

— Tercer minuto: avanza 3 cm y retrocede 5 cm.

— ...

Y así continúa, hasta que, al final de un determinado minuto, se encuentra en la posición inicial. Entonces repite el proceso.

¿Cuántas veces repite el ciclo en hora y media? Justifica la respuesta.

Una plataforma petrolífera marina se sostiene sobre flotadores, a 55 metros sobre la superficie del agua, anclada en una zona con una profundidad de 470 m.

Sobre ella, hay una grúa de 35 m de altura, de la que pende un cable y en su extremo un batiscafo auxiliar para los trabajos de mantenimiento de la plataforma.

En este momento, la grúa ha largado 120 metros de cable y sigue bajando el batiscafo a razón de un tercio de metro por segundo.

a) ¿Cuál o cuáles de estas expresiones representan la distancia del batiscafo al fondo en este momento?

b) ¿Cuánto tardará el batiscafo en llegar al fondo?

c) ¿Cuánto tardará la grúa en izar el batiscafo hasta la superficie de la plataforma, si sube a la misma velocidad que baja?

Resuelve problemas

Un rollo de cable mide más de 150 m y menos de 200 m. ¿Cuál es su longitud exacta, sabiendo que se puede dividir en trozos de 15 m y también en trozos de 18 m?

De cierta parada de autobús parten dos líneas, A y B, que inician su actividad a las 7 h de la mañana. La línea A presta un servicio cada 24 minutos, y la línea B, cada 36 minutos. ¿A qué hora vuelven a coincidir en la parada los autobuses de ambas líneas?

Se desea dividir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales, lo más grandes que sea posible, y sin desperdiciar nada. ¿Cuánto medirá cada trozo?

Una liebre corre dando saltos de 2,5 metros, perseguida por un galgo que da saltos de 3 metros. ¿Cada cuántos metros caen las huellas del galgo sobre las de la liebre?

Para pavimentar el suelo de una nave de 12,3 m de largo por 9 m de ancho, se han empleado baldosas cuadradas, que han venido justas, sin necesidad de cortar ninguna. ¿Qué medida tendrá el lado de cada baldosa, sabiendo que se han empleado las mayores que era posible?

Si apilo cajas con un grosor de 0,18 m, y al lado apilo otras cajas con un grosor de 0,2 m, ¿a qué altura coinciden ambas torres?

Julia ha formado el cuadrado más pequeño posible uniendo piezas rectangulares de cartulina, de 12 cm por 18 cm.

¿Cuánto mide el lado del cuadrado?

¿Cuántas piezas ha empleado?

En un horno de bollería se han fabricado 2400 magdalenas y 2640 mantecados, que se desean comercializar en bolsas con el mismo número de unidades y sin mezclar ambos productos. ¿Cuántas magdalenas o cuántos mantecados se pueden poner en cada bolsa, teniendo en cuenta que el número debe ser superior a 15 e inferior a 30?

Se desea envasar 125 botes de conserva de tomate y 175 botes de conserva de pimiento en cajas del mismo número de botes, y sin mezclar ambos productos en la misma caja.

¿Cuál es el mínimo número de cajas necesarias?

¿Cuántos botes irán en cada caja?

Problemas “+”

Una línea de tendido eléctrico, de 60 km, se sostiene sobre postes de madera o torretas metálicas, separados 50 metros, y alternando 11 postes entre dos torretas.

Ahora, cada 1000 metros se va a instalar una antena, sencilla si va sobre un poste y parabólica si va sobre una torreta.

Teniendo en cuenta que la línea comienza con una torreta con antena, ¿cuántas antenas sencillas y cuántas parabólicas se necesitan?

Si escribes todos los números enteros del (-50) al (+50), ¿cuántas veces habrás utilizado la cifra 5? ¿Y la cifra 3? ¿Y la cifra 7?

Dibuja unos ejes de coordenadas y los puntos A(-2, 0) y B(4, 2).

Traza todos los cuadrados que tienen por vértices esos puntos (son tres distintos).

Por último, escribe las coordenadas de los vértices de cada uno de esos cuadrados.

☞ No olvides el cuadrado cuya diagonal es AB.

La ilustración muestra dos vistas distintas del hueso de Ishango,
que se conserva en el Museo de Historia Natural de Bruselas.

Infórmate

Primos y antiguos

Los números primos ya despertaban la curiosidad de los antiguos. ¿Recuerdas la criba de Eratóstenes que has estudiado en la página 21? Eratóstenes vivió, nada menos que casi trescientos años antes de Cristo y ¡ya se preocupaba de esas cosas!

¡Pues eso no es nada! Resulta que en una época todavía más antigua, hace 20000 años, en el Zaire, algún hombre primitivo marcó en un hueso ciertos números. No sabemos qué significan, pero los de la izquierda ¡son los primos entre 10 y 20! ¿Qué te parece?

Busca regularidades

Observa esta serie de igualdades y continúala, al menos, en tres elementos (hazlo en tu cuaderno):

AYUDA: ¿qué clase de números son los sumandos de la derecha?

Lee y comprende

En 1742, el matemático ruso Goldbach propuso el siguiente enunciado:

TODO NÚMERO PAR MAYOR QUE 2 SE PUEDE EXPRESAR COMO LA SUMA DE DOS NÚMEROS PRIMOS.

Este enunciado parece que es verdadero, pero no se sabe con seguridad, ¡porque nadie ha sido capaz de demostrarlo!

Por eso, de momento es solo una CONJETURA (una suposición) conocida como la conjetura de Goldbach.

Observa, reflexiona y explica

Se tiran estos dos dados y se suman los puntos obtenidos.

Si se obtiene un resultado positivo, gano yo.

En caso contrario, ganas tú.

¿Cuál de los dos lleva ventaja?

Explica tu respuesta.

Investiga

Para cubrir el suelo de una habitación de 4,5 m por 3,5 m, el solador debe elegir una de las baldosas del muestrario.

¿Cuál de los dos lleva ventaja?

¿Qué baldosa es la adecuada teniendo en cuenta el ahorro de trabajo y material?

Utiliza tu ingenio

A la izquierda tienes los planos de dos casas.

¿Es posible diseñar un recorrido que partiendo de A permita ir cerrando cada puerta, de forma que al final queden todas cerradas, habiendo pasado una única vez por cada una?

Autoevaluación

¿Reconoces la relación de divisibilidad?

Responde y justifica:

a) ¿Es 31 divisor de 744?

b) ¿Es 999 múltiplo de 99?

Escribe:

a) Los cuatro primeros múltiplos de 13.

b)Todos los divisores de 60.

¿Identificas los primeros números primos?

Escribe los números primos comprendidos entre 20 y 40.

Razona si el número 143 es primo o compuesto.

¿Reconoces cuándo un número es múltiplo de 2, de 3, de 5 o de 10?

Indica cuáles de estos números son múltiplos de 2, cuáles de 3, cuáles de 5 y cuáles de 10:

897 - 765 - 990 - 2713 - 6077 - 6324 - 7005

¿Sabes descomponer un número en factores primos?

Descompón en factores primos los números 150 y 225.

¿Sabes calcular el máx.c.d. y el mín.c.m.?

Calcula: máx.c.d. (150, 225) y mín.c.m. (150, 225).

Calcula mentalmente: máx.c.d. (15, 20, 25) y mín.c.m. (15, 20, 25).

¿Resuelves expresiones con paréntesis y operaciones combinadas de números enteros?

Calcula el valor de:

a) 2 - (5 - 8) =

b) (7 - 15) - (6 - 2) =

c) 5 - [2 - (3 - 2)] =

Calcula.

a) 4 · 5 - 3 · (- 2) + 5 · (- 8) - 4 · (-3) =

b) (10 - 3 · 6) - 2 · [5 + 3 · (4 - 7 )] =

c) 10 - 10 · [-6 + 5 · (-4 + 7 - 3)] =

WWW 10. Soluciones de la autoevaluación

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Divisibilidad y números enteros

PARA EMPEZAR...

Números perfectos

Una propiedad enunciada por Euclides

Números amigos

DEBERÁS RECORDAR

1 La relación de divisibilidad

Múltiplos y divisores

EJEMPLO

Los múltiplos de un número

EJEMPLO

Una propiedad de los múltiplos de un número

Los divisores de un número

EJEMPLO

Actividades

Criterios de divisibilidad

Divisibilidad por 2

Divisibilidad por 5 y por 10

Divisibilidad por 3 y por 9

EJEMPLO

EJEMPLO

2 Números primos y números compuestos

Actividades

Descomposición de un número en factores primos

EJEMPLOS

Actividades

Múltiplos y divisores de números descompuestos en factores primos

Actividades

3 Mínimo común múltiplo de dos o más números

Cálculo del mínimo común múltiplo

EJEMPLO

Actividades

4 Máximo común divisor de dos o más números

Cálculo del máximo común divisor

EJEMPLO

Actividades

5 Operaciones con números enteros

﻿Suma y resta

EJEMPLOS

EJEMPLOS

Actividades

﻿Multiplicación

EJEMPLOS

División

Operaciones combinadas

Actividades

﻿Potencias de números enteros

EJEMPLOS

Potencias de números negativos

Actividades

﻿Propiedades de las potencias

Potencia de un producto

Potencia de un cociente

Producto de potencias de la misma base

Cociente de potencias de la misma base

Potencia de una potencia

Actividades

Raíz cuadrada de un número entero

EJEMPLOS

Otras raíces

EJEMPLOS

Actividades

Ejercicios y problemas

Múltiplos y divisores

Números primos y compuestos

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

Reflexiona, decide, aplica

Suma y resta de números enteros

Multiplicación y división de números enteros

Operaciones combinadas con números enteros

Potencias de números enteros

Raíces de números enteros

Interpreta, describe, exprésate

Resuelve problemas

Problemas “+”

Y para terminar...

Autoevaluación

Suma y resta

Multiplicación

Potencias de números enteros

Propiedades de las potencias

Problemas “+”